值域_求值域的方法大全及习题加详解

求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。例1、求函数1,[1,2]yxx的值域。（）例2、求函数x3y的值域。（）答案：值域是：]3,[【同步练习1】函数221xy的值域.（）解：}210{yy（2）、配方法：二次函数或可转化为形如cxbfxfaxF)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(xf的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例1、求函数225,yxxxR的值域。（）例2、求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。（）解：将函数配方得：4)1x(y2∵]2,1[x由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymin，当1x时，8ymax故函数的值域是：[4，8]例3、求22log26log62log222222xxxy。（）（配方法、换元法）解：………所以当41x时，y有最小值-2。故所求函数值域为[-2，+∞）。例4、设02x≤≤，求函数1()4321xxfx的值域．解：12()4321(23)8xxxfx，02x∵≤≤，24x∴≤≤．∴当23x时，函数取得最小值8；当21x时，函数取得最大值4，∴函数的值域为[84]，．评注：配方法往往需结合函数图象求值域．例5、求函数13432xxy的值域。（）（配方法、换元法）解：713421342113426421xxxxy=31134212x，所以27y，故所求函数值域为[72，+∞]。例6、求函数xxy422的值域。（）（配方法）2,0y。【同步练习2】（）1、求二次函数242yxx（1,4x）的值域.（）2、求函数342xxey的值域.（）3、求函数421,[3,2]xxyx的最大值与最小值.（）4、求函数])8,1[(4log2log22xxxy的最大值和最小值.（）5、已知0,2x，求函数12()4325xxfx的值域.（）6、若,42yx0,0yx,试求yxlglg的最大值。（）最大值2lg。（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()1fxxx的值域．解：令10xt，则21(0)xtt≥，222155()(1)1244fxftttt≤，所以函数值域为5，4．评注：利用引入的新变量t，使原函数消去了根号，转化成了关于t的一元二次函数，使问题得以解决．用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域．小结：【同步练习3】求函数xxy21的值域。解：由021x，得21x。令021ttx得212tx，于是11212122ttty，因为0t，所以21y。故所求函数值域为[-∞，12]。例2、求函数221xxxy的值域。解：设2sinx，则42sin22212cos1212sin21sincossin2y。所以221221y，故所求函数值域为221221，。【同步练习4】求函数2x54xy的值域。解：由0x52，可得5|x|故可令],0[,cos5x4)4sin(10sin54cos5y∵04544当4/时，104ymax当时，54ymin故所求函数的值域为：]104,54[小结：【同步练习5】1、求函数xxy21的值域.（）2、求函数2)1x(12xy的值域。（）解：因0)1x(12即1)1x(2故可令],0[,cos1x∴1cossincos11cosy21)4sin(2∵4540,0211)4sin(201)4sin(22故所求函数的值域为]21,0[3、已知函数)(xf的值域为95,83，求函数)(21)(xfxfy的值域.（）（4）、函数有界性法（方程法）直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例1、求函数3sin3sinxxy的值域。解：因为03sinx，所以3sin3sinxyxy，则yyx113sin由于1sinx，所以1113yy，解得212y。故所函数的值域为[-2，-12]。求函数1122xxy的值域110112yyyx11原函数的值域为例2、求函数3cos21sin3xxy的值域。解：因为03cos2x，所以1sin33cos2xyxy，即13cos2sin3yxyx，所以9413cos942sin943222yyxyyxy，令943cos2y，942sin2yy得9413sin2yyx，由194132yy，解得542y，故所函数的值域为[-2，45]。【同步练习6】求函数11xxeye，2sin11siny，2sin11cosy的值域.222110112sin11|sin|||1,1sin22sin12sin1(1cos)1cos2sincos114sin()1,sin()41sin()114即又由知解不等式，求出，就是要求的答案xxxeyyeyeyyyyyyyyyxyxyyxyy（5）、数形结合法（函数的图像）：对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化．其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例1、求函数2223(20)()23(03)xxxfxxxx，≤≤≤的值域．分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．解：作图象如图所示．(1)(1)4ff∵，(2)3f，(3)0f，(0)3f，∴函数的最大值、最小值分别为0和4，即函数的值域为[40]，．例2、求函数22)8x()2x(y的值域.解：原函数可化简得：|8x||2x|y上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），)8(B间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，10|AB||8x||2x|y当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，10|AB||8x||2x|y故所求函数的值域为：],10[例3、求函数5x4x13x6xy22的值域.解：原函数可变形为：2222)10()2x()20()3x(y上式可看成x轴上的点)0,x(P到两定点)1,2(B),2,3(A的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，43)12()23(|AB|y22min，故所求函数的值域为],43[例4、求函数5x4x13x6xy22的值域.解：将函数变形为：2222)10()2x()20()3x(y上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点)1,2(B到点)0,x(P的距离之差。即：|BP||AP|y由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点'P，则构成'ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(|AB|||'BP||'AP||22即：26y26（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有26|AB|||BP||AP||综上所述，可知函数的值域为：]26,26(注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），)1,2(，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），)1,2(，在x轴的同侧。【同步练习7】1、求函数13yxx的值域.2、求函数31yxx的值域.3、求函数224548yxxxx的值域.4、求函数225222xxxxxf的最大值.（6）均值不等式法：利用基本关系,0)]([2xf两个正数的均值不等式abba2在应用时要注意“一正二定三相等”；利用基本不等式abc3cba,ab2ba3)Rc,b,a(，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例1、求函数)1(1222xxxxy的值域解：原函数可化为)1(211111)1(2xxxxxy当且仅当0x时取等号，故值域为,2例3、求函数4)xcos1x(cos)xsin1x(siny22的值域.解：原函数变形为：52xcotxtan3xcotxtan3xsecxces1xcos1xsin1)xcosx(siny22322222222当且仅当xcotxtan即当4kx时)zk(，等号成立故原函数的值域为：),5[（7）、根判别式法：对于形如21112222axbxcyaxbxc（1a，2a不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222bay型：直接用不等式性质k+xbxb.y型,先化简，再用均值不等式xmxnx1例：y1+xx+xxmxncy型通常用判别式xmxnxmxnd.y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1（x+1）（x+1）+11例：y（x+1）1211x1x1x1例1、求函数2211xxyx的值域．解：原函数化为关于x的一元二次方程2(1)10yxxy．（1）当1y时，xR，2(1)4(1)(1)0yy≥，解得1322y≤≤；（2）当1y时，0x，而13122，．故函数的值域为1322，．评注：①在解