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1FP2F一椭圆的定义:1212(||)FFFF在平面内到两个定点,的距离等于常数的点的轨迹.12FF两个定点,叫椭圆的焦点12FF||叫椭圆的焦距回顾知识、把握基础12||||2PFPFa注:平面内一动点与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a,当2a>|F1F2|时,动点的轨迹是椭圆;当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.二.椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围≤x≤≤y≤≤x≤≤y≤对称性对称轴:对称中心:0)b1(abyax2222=+0)b1(abxay2222=+-aa-bb-bb-aax轴,y轴原点性质顶点A1,A2B1,B2A1,A2B1,B2轴长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为焦距|F1F2|=2c(c=)返回目录(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0)2a2b22b-a1、求适合下列条件的椭圆的方程(1)焦点在x轴上,焦距等于4,且过点P(3,-2)(2)经过两点A(-2,0),B(0,)(3)长轴是短轴的3倍,且过点P(3,0)652例题:2、椭圆16x2+9y2=144的长轴长是,短轴长是,焦点坐标是,顶点坐标是.3、如果椭圆上一点P到左焦点F1的距离是6,那么点P到右焦点F2的距离是.22y+=110036x4、已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,过椭圆的左焦点F1的直线与椭圆交于两点A,B,则ABF2的周长是.22y+=12516x变式题[2009·上海卷]已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________.【答案】31PF2PF返回目录5一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.116y25x22=+*对应演练*已知△ABC中,A(-1,0),C(1,0),且边a,b,c成等差数列,求顶点B的轨迹方程.返回目录13y4x22=+(x≠±2)│要点探究6已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴右端点、短轴上端点分别为A、B,从椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线,恰好过椭圆的左焦点F1,向量AB与OM是共线向量.(1)求(2)设Q是椭圆上任意一点,F1、F2分别是左、右焦点,求∠F1QF2的取值范围.ca【解答】(1)由题意可得,kAB=kOM,又因为直线AB的斜率k=-ba,所以直线OM的方程为:y=-bax.又得|MF1|=bca,从而得到b=c,∴a2=b2+c2=2c2,∴e=ca=22.(2)设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,∠F1QF2=θ,∴r1+r2=2a,|F1F2|=2c,cosθ=222121242rrcrr│要点探究=(r1+r2)2-2r1r2-4c22r1r2=a2r1r2-1≥,当且仅当r1=r2时,cosθ=0,∴θ∈2212102arr0,22APPB【解答】D对于椭圆,因为,则OA=2OF,∴a=2c,∴e=12.2APPB变式题[2009·浙江卷]已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若,则椭圆的是()A.32B.22C.13D.12ca7、直线y=kx+b与椭圆交于A,B两点,记AOB的面积为S.(1)求在k=0,0b1的条件下,S的最大值;(2)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.22+y=14xAxyoB返回目录【解析】(1)设点A的坐标为(x1,b),点B的坐标为(x2,b),由+b2=1,解得x1,2=±2,所以S=b·|x1-x2|=2b·=2≤b2+(1-b2)=1,当且仅当b=时,S取得最大值1.2x421-b1221-b22b(1-b)22y=kx+b,+y2=1,(k2+)x2+2kbx+b2-1=0,则Δ=4k2-b2+1,①|AB|=·|x1-x2|=·=2.②设O到AB的距离为d,则d==1,又因为d=,所以b2=k2+1,代入②式并整理,得k4-k2+=0,返回目录(2)由得2x414{21+k21+k2224k-b+11+k42S|AB|2|b|1+k14解得k2=,b2=,代入①式检验,Δ>0,故直线AB的方程是y=x+,或y=x-,或y=-x+,或y=-x-.返回目录123222622262226222621求椭圆中斜率为1的平行弦的中点的轨迹.1422yx12FF、2已知椭圆的焦点为,椭圆上的动点P的坐标为,且为钝角,求的取值范围。22194xy(,)ppxy12FPFpx练习:3若直线与椭圆恒有公共点,求实数m的取值范围.)(1Rkkxy1522myx4椭圆中心在原点,长轴长为,一个焦点的坐标(0,5),求经过此椭圆内的一点,且被点M平分的弦所在的直线方程.1F)21,21(M103方法规律小结1、在求椭圆标准方程时,要弄清焦点所在坐标轴,若没有指明在哪一个坐标轴,椭圆的标准方程应有直两种形式2、椭圆的焦距、长轴长、短轴长分别为2c,2a,2b,不要误认为c,a,b.3椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为a+c,最小距离为a-c.3、过焦点弦的所有弦长中,垂直于长轴的弦是最短的弦,而且它的长为.把这个弦叫椭圆的通径22ba4注意椭圆的范围,在设椭圆(a>b>0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.2222xy+=1ab
本文标题:椭圆(高考数学第一轮复习)
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