向量题型分析难题集

APCB向量题型分析，难题集一、向量法证明几何、三角函数中定理、公式例1向量法证明两角差的余弦公式sinsincoscos)cos(析：教科书上的探究有利用单位圆上的三角函数线和向量的知识，运用向量工具进行探索，过程十分简洁！例2证明：对于任意的Rdcba,,,，恒有不等式.22222dcbabdac证明：设dcvbau,,,,vuvu2222dcbabdac即22222dcbabdac例3向量法证明勾股定理。证明：如图，,,bacba22222222babbaabacc即222bac利用向量还可以证明平面几何的许多命题，例如菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分以及关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质。例4．在△ABC内求一点P，使222CPBPAP的值最小。解：如图，设CA=a，CB=b，CP=x，AP=x—a，BP=x—b。∴222CPBPAP=x(—2)a+x(—2)b+2x=32x—2（a+b）x+2a+2b=3[x2)](31ba+2a+2b2)(31ba。根据向量运算的意义，知当x1()3ab时，222CPBPAP有最小值。设M为AB的中点，易知ab=CM2，即当x1()3ab时，23CPCM，此时P为三角形的重心。二、向量法解决代数中的最值问题例522223,4.(,,,)xyabxyabR求axby的最值.解：构造向量,.,.mxynab因为222223axbymnmnxyab所以23axby评：向量是解决数学问题的重要工具，根据函数的形式，结构特征，巧妙构造向量可化难为易，获得新颖、快捷的解法。BAC例2：求函数3245yxx的最大值。解：因为24050xx；所以25x32453225yxxxx设32,1,2,5pqxx则19,7,.133pqypqpq当且仅当p与q平行且方向相同时不等式取等号即，3252xx解之得，当8819x时，max133y三．向量的线性运算，面积结论，三角形几个心问题1.已知O是ABC所在平面内的一点，内角A,B,C所对应的边长分别为,,abc，若0aOAbOBcOC，则O是ABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心2已知O是ABC所在平面内的一点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足OPOAACAB,0,,则动点P的轨迹一定通过ABCA.外心B.内心C.重心D.垂心3已知O是ABC所在平面内的一点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足ABACOPOAABAC,0,,则动点P的轨迹一定通过ABCA.外心B.内心C.重心D.垂心4已知O是ABC所在平面内的一点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足coscosABACOPOAABBACC,0,,则动点P的轨迹一定通过ABCA.外心B.内心C.重心D.垂心5ABC的外接园的园心为O，P是ABC所在平面上的一点，若()()()()11123OAOBOCOPRllll-+-++=?，则P必过三角形的()()A外心()B内心()C重心()D垂心PCABQ6若定点O满足222222OABCOBCAOCAB+=+=+，则O是ABC（）()A外心()B内心()C重心()D垂心7设(0,0)O,(1,0)A,(0,1)B,点P是线段AB上的一个动点,APAB,若OPABPAPB,则实数的取值范围是.A112.B2112.C12122.D2211228如图,设,PQ为ABC内的两点,且2155APABAC,AQ＝23AB＋14AC,则ABP的面积与ABQ的面积之比为()A.15B.45C.14D.139如图，已知C为AB上一点，P为AB外一点，满足||||PBPA=2，52||PBPA，||||PBPCPBPAPCPA，I为PC上一点，且有)0)(||||(APAPACACBABI，则||BABABI的值为（）A．1B．2C．5+1D．5–110若向量a与b不共线，ab0，且bbaaaac)(，则向量a与c的夹角为（）（A）0（B）6（C）3（D）211在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则222PAPBPC=A．2B．4C．5D．1012如图所示，直线2x与双曲线22:14xCy的渐近线交于12,EE两点，记1122,OEeOEe，任取双曲线上的点P，若12,()OPaebeabR、，则,ab满足的一个等式是____13已知O为锐角ABC的外心，210,16ACAB，若ACyABxAO，且252532yx，则AO14,B,P是直线l上不同的三点，点O直线l外，若OBmAPmOP32，则PAPB15.各棱长都等于2的四面体ABCD中，设G为BC的中点，E为ABC内动点，且ABDGE面//，若21BDAE，则23CE16平面上O,A,B三点不共线，设,OA=aOBb，则△OAB的面积等于（c）(A)222|||()|abab(B)222|||()|abab(C)2221|||()2|abab(D)2221|||()2|abab17设1A，2A，3A，4A是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312AAAA(λ∈R)，1412AAAA(μ∈R)，且112,则称3A，4A调和分割1A，2A,已知点C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C可能是线段AB的中点(B)D可能是线段AB的中点(C)C，D可能同时在线段AB上(D)C，D不可能同时在线段AB的延长线上18已知,,ABC不共线，且有1332ABBCBCCACAAB,则请比较,,ABCABC的大小____________19设o是ABC内的一点，求222OAOBOC的最小值20设向量abc、、满足|a|=|b|=1,ab1=2,，,acbc=060，则c的最大值等于(A)2(B)3(c)2(D)1ABDC21在△ABC中，E、F分别为AB，AC中点.P为EF上任一点,实数x，y满足PA+xPB+yPC=0.设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，1S，2S，3S，记11SS,22SS,33SS,则23取最大值时，2x+y的值为A.-1B.1C.-32D.3222定义域为[a,b]的函数()yfx图像的两个端点为A、B，M（x,y）是()fx图象上任意一点，其中(1)[,]xabab,已知向量(1)ONOAOB，若不等式||MNk恒成立，则称函数()[,]fxab在上“k阶线性近似”。若函数1yxx在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为A．[0,)B．1[,)12C．3[2,)2D．3[2,)223给定两个长度均为2的平面向量向量OBOA,，它们的夹角为。150，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若OByOAxOC33，则yx的最大值是24在平面直角坐标系中点0,5A.对于某个正实数k，存在函数02aaxxf，使得OQOQOAOAOP,其中点QP,的坐标分别为kfkf,,1,1，则k的取值范围是25如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OByOAxOP，则实数对（x,y）可以是A．)43,41(B.)32,32(C.)43,41(D.)57,51(26设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝ABcPBCSS，λ2＝ABCPCASS，λ3＝ABCPABSS，定义f(P)=(λ1,2,λ3),若G是△ABC的重心，f(Q)＝（21，31，61），则（）A．点Q在△GAB内B．点Q在△GBC内C．点Q在△GCA内D．点Q与点G重合27设D是正123PPP及其内部的点构成的集合，点0P是123PPP的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}iSPPDPPPPi，则集合S表示的平面区域是()A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域28对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角,42，且ab和ba都在集合2nnZ　　中，则abA.52B.32C.1D.1229点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O是ABC的（）（A）三个内角的角平分线的交点(B）三条边的垂直平分线的交点(C）三条中线的交点（D）三条高的交点30已知两点(1,0),(1,0),MN且点P使,,MPMNPMPNNMNP成公差小于零的等差数列。则点P的轨迹表示的曲线方程为______________________。31设向量a，b满足：||3a，||4b，0ab．以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为(c)w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．3B．4C．5D．632在四边形ABCD中，AB=DC=（1，1），113BABCBDBABCBD，则四边形ABCD的面积是3