数学高二(上)沪教版(数列的极限(二))教师版

年级：高二辅导科目：数学课时数：3课题数列极限教学目的1、理解数列极限的概念；2、掌握数列极限的运算法则；3、掌握常用的数列极限。4、掌握公比q1时，无穷等比数列前n项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式，并能用于解决简单问题。教学内容【知识梳理】1、什么是数列的极限？2、数列极限的运算法则有哪些？3、常见的求数列的极限有哪些形式？（本分讲义是针对层次比较好的学生，所以知识点多以提问的形式出现，让学生自己发挥，老师再给予纠正）【典型例题分析】例1、下列命题中，正确的是（）（A）若lim,lim,nnnnaAbB则limnnnaAbB（B）若lim0nna，则lim0nnnab（C）若22limnnaA,则limnnaA（D）若lim,nnaA则22limnnaA【解析】在命题A中，当0B时，则AB无意义，命题不成立；在命题B中，若1,221nnabnn，则221nnnabn，虽然limnna1lim0,21nn但21limlim0,212nnnnnabn所以命题B不正确；在命题C中，若1nna，则222limlim11(1)nnnna，而n时，1n的极限不存在，所以命题C不成立；在命题D中，若limnnaA，根据数列极限的运算性质。22limlimlimlimnnnnnnnnnaaaaaAAA成立，所以命题D是正确的。【答案】D例2、已知lim212nnna，求limnnna。【解析】由条件不能确定na的表达式，因此我们设法将nna拼凑出21nna。再利用极限性质求解。可化为lim()lim[21]21nnnnnnanan【答案】1例3、求下列数列的极限（1）若621,161,72nnnnanNn当时当时，则limnna______，limnnS_______（2）2221lim23nnnnn（3）1123lim23nnnnn（4）lim11nnnn（5）21lim21nnnn（6）1111lim1111234nn（7）2123limnnn【解析】（1）数列na的极限不受前有限项的影响，其前n项和的极限应先求和再求极限；（2）关于正整数n的分式的极限，常将分子、分母同除以n的最高次项（不含系数）使得各项的极限都存在，然后利用极限的运算法则求解；（3）关于分子分母含有n的指数式的极限，常将分子分母同除以底数的绝对值较大的这一项，然后利用基本极限lim01nnqq求解；（5）通过换元法将式子整理成11nn相关的形式，利用1lim1nnen这一重要极限求解；（6）关于积的极限，通常通过等式变形消去中间项，转化为基本极限求解；（7）虽然2123nn2222123nnnnn使得2212limlimnnnn2limnnn0，但当n时，分子的前n项和变成了无限项的和，二极限的四则运算法则只适用于有限个数列的极限运算，所以这类和的极限应先求和后求极限。【答案】（1）37（2）12（3）13（4）1（5）1e（6）0（7）12例4、在数列na中，已知113a，且12(2)nnnaSSn，求2limnnnaS【解析】与数列前n项和公式相关的极限问题一样，综合能力要求通常较高，解题时应注意套用相关公式。【答案】2例5、已知1121lim22nnnnnaa，求a的范围。【解析】解本题的关键时讨论a与2的大小。【答案】2,2a例6、若lim348,lim61nnnnnnabab，求lim3nnnab。【错解】设lim,limnnnnaAbB,由已知，得34861ABAB解方程组得，4953ABlim33nnnab【错解分析】lim34nnnab存在，不能推出,nnab的极限存在，所以不能运用极限的四则运算，可以通过整体运算解决问题。【正解】设3346nnnnnnabxabyab364nnxyaxyb令36341xyxy解方程组，得1313xy11lim3lim3433nnnnnnabablimn6nnab3例7、求和：0.180.0180.0018S【解析】化循环小数为分数，时无穷等比数列各项和公式的一个重要应用。解题时应注意确定首项和公比。【解】0.008170.180.10.080.0080.110.1900.008170.0180.010.0080.00080.110.1900170.0018,90000170.00018,910nn个1717171717909090091010.181n原式=变式练习：化循环小数为分数（1）0.32（2）1.34（3）0.10.20.30.9【解析】纯循环小数可以看作时一个无穷等比数列所有项之和，而混循环小数可以视为一个常数与无穷等比数列各项的和相加。【答案】（1）3299（2）12190（3）5例8、等比数列na使1232lim5nnaaaa，求实数1a的取值范围。【解析】由q的范围确定1a的范围。【解】112312limlim15nnnnaqaaaaq当且仅当11q时极限存在，并且111122lim,11155nnaqaaqqq又在等比数列中，0q于是，01210qq且则：24220115555qq且则：1142055aa且所以1a的取值范围是2240,,555【点拨】关注其中公比q的范围：1,00,1，这是一个逆向思维的问题。例9、棱长为a的正方形内有一个内切球（即球与正方形的每一个面有且只有一个公共点），球内又有一个内切正方体（即正方体的每一个顶点都在球的表面上），该正方体内又有一个内切球，球内又有一个小内切正方形……如此进行以至无穷，求所有这些正方体的体积之和。【解析】通过球确定两个相邻正方体的棱长之间的关系。【解】设第n个正方形的棱长为na，体积为nV，则3311311nnnnVaaVaqVa又第n个球的直径就是第n个正方形的棱长，又同时是第1n个正方体的对角线长。于是：22222111132;3nnnnnnnaaaaraa所以3313339nnaqa故3311239139319nVaaVVVVq【课堂小练】1.下列命题正确的是______________①数列13n没有极限②数列21nn的极限为零③数列332n的极限是3④数列23nn没有极限A①②B②③④C①②③D①②③④2.下列命题中正确的是_________A设有数列na，若存在常数0M，使naM恒成立，则数列na必有极限；B若数列na单调递增，则此数列必有极限；C若limnnaA（A为确定的常数），则存在常数0M，使naM恒成立；D数列0,1,0,2,0,3,,n的一个极限时零3.下列命题中正确的是________A若22limnnaA，则limnnaAB若limnnaA，则22limnnaAC若lim,limnnnnaAbB，则limnnnaAbBD若nnab，且lim,limnnnnaAbB，则AB4.下列数列极限的式子中，不正确的是____________A2462lim03693nnnB1limsin03nnnC111lim111023nnD32lim032nnnnn5.若limnna存在，且34lim29nnnaa，则limnna=____________6.数列na和数列nb都是公差不为零的等差数列，且lim3nnnab，则122limnnnaaanb的值为_____________7.求下列各数列的极限。（1）2221321lim111nnnnn（2）2232lim31nnnnn（3）32211lim334nnnnnn（4）1111393lim11114164nnn（5）1lim11nnnaaa8.求222lim1nnnanbn的值，其中,ab为常数。9.已知：0.130.0130.0013S，求S_______________10.无穷等比数列tann中，若它的各项和存在，求的范围。答案1.D2.C3.B4.D5.76.347.(1)1(2)3(3)13(4)158(5)1,11lim0,111,1nnnaaaaa8.原式=21,11abbaa不存在，9.42710.44kkk且走近高考：1、（2008年个上海）若数列na是首项为1，公比为23a的无穷等比数列，且na各项的和为a，则a的值是(B)(A)1.(B)2.(C)21.(D)45.2、（2010上海模拟）11122lim11144nnn的值为（B）（A）0（B）32（C）12（D）13、（2010上海高考）将直线l1：nxyn0、l2：xnyn0(nN*)、x轴、y轴围成的封闭区域的面积记为Sn，则limnnS______1_________．4、已知数列na的首项10a，其前n项的和为nS，且112nnSSa，则limnnnaS（A）0（B）12（C）1（D）2解析：由112nnSSa,且2112nnSSaw_w_w.k*s5*u.co*m作差得an＋2＝2an＋1又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1a2＝2a1w_ww.k#s5_u.co*m故{an}是公比为2的等比数列Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1则11121limlim(21)2nnnnnnaaSa答案：B5、已知1,nnaa是方程2103nnxcx的两根，若11a，求123ccc2nc的值。【解析】通过方程的根与系数的关系可以得到数列na的递推式；由等比数列的定义判断，可以将问题转化为无穷递缩数列各项和问题。【答案】2121111,33nnnnnnnnnaaaaaaaa所以数列21na是以11a为首项，13为公比的无穷递缩等比数列数列2na是以213a为首项，13为公比的无穷递缩等比数列13521246211313,11221133nnaaaaaaaa又1nnncaa12321223212221132124212231