2014-2015年考研数学二真题及答案解析

12014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)当0x时，若ln(12)x，1(1cos)x均是比x高阶的无穷小，则的取值范围是()(A)(2,)(B)(1,2)(C)1(,1)2(D)1(0,)2(2)下列曲线中有渐近线的是()(A)sinyxx(B)2sinyxx(C)1sinyxx(D)21sinyxx(3)设函数()fx具有2阶导数，()(0)(1)(1)gxfxfx，则在区间[0,1]上（）(A)当()0fx时，()()fxgx(B)当()0fx时，()()fxgx(C)当()0fx时，()()fxgx(D)当()0fx时，()()fxgx(4)曲线22741xtytt上对应于1t的点处的曲率半径是（）(A)1050(B)10100(C)1010(D)510(5)设函数()arctanfxx，若()()fxxf，则220limxx（）(A)1(B)23(C)12(D)13(6)设函数(,)uxy在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足20uxy及22220uuxy，则（）(A)(,)uxy的最大值和最小值都在D的边界上取得(B)(,)uxy的最大值和最小值都在D的内部上取得2(C)(,)uxy的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得(D)(,)uxy的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得(7)行列式00000000ababcdcd（）(A)2()adbc(B)2()adbc(C)2222adbc(D)2222bcad(8)设123,,均为3维向量，则对任意常数,kl，向量组1323,kl线性无关是向量组123,,线性无关的（）(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.((9)12125dxxx__________.(10)设()fx是周期为4的可导奇函数，且()fx2(1),x[0,2]x，则(7)f__________.(11)设(,)zzxy是由方程2274yzexyz确定的函数，则11(,)22dz__________.(12)曲线()rr的极坐标方程是r，则L在点(,)(,)22r处的切线的直角坐标方程是__________.(13)一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上,若其线密度221xxx,则该细棒的质心坐标x__________.(14)设二次型22123121323,,24fxxxxxaxxxx的负惯性指数为1，则a的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)3求极限12121lim.1ln1xtxtetdtxx(16)(本题满分10分)已知函数yyx满足微分方程221xyyy，且20y，求yx的极大值与极小值.(17)(本题满分10分)设平面区域22,14,0,0,Dxyxyxy计算22sinDxxydxdyxy.(18)(本题满分10分)设函数()fu具有二阶连续导数，(ecosy)xzf满足22222(4ecos)exxzzzyxy，若'(0)0,(0)0ff，求()fu的表达式.(19)(本题满分10分)设函数(),()fxgx的区间[a,b]上连续，且()fx单调增加，0()1gx.证明：(I)0(),[,]xagtdtxaxab,(II)()()d()g()baagtdtbaafxxfxxdx.(20)(本题满分11分)设函数(x),0,11xfxx，定义函数列121()(),()(()),fxfxfxffx,1()(()),nnfxffx，记nS是由曲线()nyfx，直线1x及x轴所围成平面图形的面积，求极限limnnnS.(21)(本题满分11分)已知函数(,)fxy满足2(1)fyy，且2(,)(1)(2)ln,fyyyyy求曲线(,)0fxy所围成的图形绕直线1y旋转所成的旋转体的体积.(22)(本题满分11分)4设矩阵123401111203A，E为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax的一个基础解系；(II)求满足ABE的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n阶矩阵111111111与00100200n相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)当0x时，若ln(12)x，1(1cos)x均是比x高阶的无穷小，则的取值范围是()(A)(2,)(B)(1,2)(C)1(,1)2(D)1(0,)2【答案】B【解析】由定义1000ln(12)(2)limlimlim20xxxxxxxx所以10，故1.5当0x时，211(1cos)~2xx是比x的高阶无穷小，所以210，即2.故选B(2)下列曲线中有渐近线的是()(A)sinyxx(B)2sinyxx(C)1sinyxx(D)21sinyxx【答案】C【解析】关于C选项：11sinsinlimlim1lim101xxxxxxxx.11lim[sin]limsin0xxxxxx，所以1sinyxx存在斜渐近线yx.故选C(3)设函数()fx具有2阶导数，()(0)(1)(1)gxfxfx，则在区间[0,1]上（）(A)当()0fx时，()()fxgx(B)当()0fx时，()()fxgx(C)当()0fx时，()()fxgx(D)当()0fx时，()()fxgx【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()Fxgxfxfxfxfx，则(0)(1)0FF,()(0)(1)()Fxfffx,()()Fxfx.若()0fx，则()0Fx，()Fx在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0FF，所以当[0,1]x时，()0Fx，从而()()gxfx.故选D.(4)曲线22741xtytt上对应于1t的点处的曲率半径是（）(A)1050(B)10100(C)1010(D)510【答案】C【解析】61112'21122432212tttttdytdxtdydytdxdxt''33'22211,101011ykRkqy故选C(5)设函数()arctanfxx，若()()fxxf，则220limxx（）(A)1(B)23(C)12(D)13【答案】D【解析】因为'2()1()1fxfx，所以2()()xfxfx222222000011()arctan11limlimlimlim()arctan33xxxxxfxxxxxxfxxxx故选D.(6)设函数(,)uxy在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足20uxy及22220uuxy，则（）(A)(,)uxy的最大值和最小值都在D的边界上取得(B)(,)uxy的最大值和最小值都在D的内部上取得(C)(,)uxy的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得(D)(,)uxy的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得【答案】A7【解析】记22222,,,0,,uuuABCBACxxyy相反数则2=AC-B0,所以(x,y)u在D内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7)行列式00000000ababcdcd()(A)2()adbc(B)2()adbc(C)2222adbc(D)2222bcad【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列0000000000000000ababababacdcbcddcdcd()()adadbcbcadbc2()adbc.(8)设123,,aaa均为三维向量，则对任意常数,kl,向量组13aka,23ala线性无关是向量组123,,aaa线性无关的()(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A【解析】13231231001klkl.)记1323Akl，123B，1001klC.若123,,线性无关，则()()()2rArBCrC，故1323,kl线性无关.8)举反例.令30，则12,线性无关，但此时123,,却线性相关.综上所述，对任意常数,kl，向量1323,kl线性无关是向量123,,线性无关的必要非充分条件.故选A二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)12125dxxx__________.【答案】38【解析】111221111arctan252214132428xdxdxxxx(10)设()fx是周期为4的可导奇函数，且()fx2(1),x[0,2]x，则(7)f__________.【答案】1【解析】'210,2fxxx，且为偶函数则'212,0fxxx，又22fxxxc且为奇函数，故=0c222,0fxxxx，又fx的周期为4，711ff(11)设(,)zzxy是由方程2274yzexyz确定的函数，则11(,)22dz__________.【答案】1()2dxdy【解析】对2274yzexyz方程两边同时对,xy求偏导922210(22)20yzyzzzeyxxzzezyyyy当11,22xy时,0z故1111(,)(,)222211,22zzxy故11(,)22111()()222dzdxdydxdy(12)曲线limnnnS的极坐标方程是r，则L在点(,)(,)22r处的切线的直角坐标方程是__________.【答案】22yx【解析】由直角坐标和极坐标的关系coscossinsinxryr，于是,,,22r对应于,0,,2xy切线斜率cossincossindydyddxdxd0,22dydx所以切线方程为202yx即2=2yx(13)一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上,若其线密度221xxx,则该细棒的质心坐标x__________.【答案