二次根式复习大全

二次根式小结与复习夏飞【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2.二次根式的性质：①②③④3.二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．（1）二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．（4）二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．（5）有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①与；②与；③与；④与．说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．二次根式强化训练与复习巩固自测试题【时间60分钟满分100分】一、填空题：（每小题2分，共20分）1．化简：______；_________．2．当______时，．3．等式成立的条件是______．4．当，化简_______．5．比较与的大小：_______．6．分母有理化：（1）__________；（2）__________；（3）__________．7．已知，，，那么________．8．计算_________．9．如果，那么的值为___________．10．若有意义，则的取值范围是___________．二、选择题：（每小题2分，共20分）1．下式中不是二次根式的为（）A．；B．；C．；D．2．计算得（）A．；B．C．D．173．若，则化简等于（）A．B．C．D．14．化简的结果是（）A．B．C．D．5．计算的结果是（）A．B．C．D．6．化简的结果是（）A．2B．C．D．以上答案都不对7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A．B．C．D．8．等式成立的条件是（）A．B．C．D．9．的值为（）A．B．C．D．10．若代数式有意义，则的取值范围是（）A．且B．C．且D．且三、计算与化简：（每小题2分，共16分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）四、求值题：（每小题4分，共16分）1．已知：，求的值．2．已知，求的值。3．已知：，求的值．4．求的值．5．已知、是实数，且，求的值．五、解答题：（每小题4分，共16分）1．解方程：2．在△ABC中，三边分别为，且满足，，试探求△ABC的形状．3．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？答案与提示：一、填空题：1．8；2．；3．，；4．；5．；6．（1）（2）（3）7．；8．；9．4；10．；二、选择题：1．B；2．B；3．C；4．A；5．A；6．C；7．C；8．A；9．B；10．C；三、计算与化简：（1）96（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）思路点拨：由于，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值，代入化简得结果即可．解：原式．四、求值题：1．由于，所以；2．解：∵，∴∴，∴，∴∴原式．3．提示：由，得：，即：，所以，；再化简，即：．4．提示：由于，而，所以．5．提示：由，可知的取值范围：，则；则．五、解答题：1．原方程可化为：，∴∴2．∵，∴，又∵，∴，∴，∴；∵，，，∴，，，∴，∴△ABC是等边三角形．3．设：矩形房梁的宽为，则长为，依题意，得：，，，所以．答：加工后的房梁的最大截面积是．