全国181套中考数学试题分类解析汇编 专题22二次函数的应用(几何问题)

用心爱心专心1全国181套中考数学试题分类解析汇编专题22：二次函数的应用（几何问题）一、选择题1.（四川绵阳3分）若是方程（x－a）（x－b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为A．x1＜x2＜a＜bB．x1＜a＜x2＜bC．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2【答案】C。【考点】方程的图象解法。【分析】根据方程的图象解法，方程（x－a）（x－b）=1（a＜b）的两个根x1，x2（x1＜x2）可以看成函数y=（x－a）（x－b）和y=1交点的横坐标，a，b是函数y=（x－a）（x－b）与x轴交点的横坐标。根据题意，作出图象，可以看出x1，x2，a，b的大小关系为x1＜a＜b＜x2。故选C。2.（广东台山3分）如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH,设小正方形EFGH的面积为Y，AE为X，则Y关于X的函数图象大致是【答案】B。【考点】二次函数的应用和图象，勾股定理。【分析】根据已知可得二次函数关系式：Y＝X2＋（1－X）2＝2X2－2X＋1，它是开口向上的抛物线,且经过点（1，1）。故选B。3,（甘肃兰州4分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是用心爱心专心2A、B、C、D、【答案】B。【考点】二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG。设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2，即s=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1。∴所求函数是一个开口向上，对称轴是x=12的抛物线在0＜x＜1部分。故选B。5.（贵州安顺3分）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是A．B．C．D．【答案】C。【考点】二次函数综合题。【分析】依题意，得y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH=1﹣4×12（1﹣x）x=2x2﹣2x+1，即y=2x2﹣2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=12。故选C。二、填空题1.（四川泸州2分）如图，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是▲【答案】10。用心爱心专心3【考点】二次函数的最值，等腰梯形的性质，勾股定理。【分析】∵圆心为O，则OA=OB=OC=OD=2，设腰长为x设上底长是2b，过C作直径的垂线，垂足是P，则x2﹣（2﹣b）2=22﹣b2=CP2整理得b=2﹣2x4。∴梯形周长=4+2x+2b=4+2x+4﹣2x2=﹣2x2+2x+8=21x2102∴该梯形周长的最大值是：10。三、解答题1.（内蒙古巴彦淖、赤峰尔12分）如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称．（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；（2）求证：四边形ABCD是直角梯形．【答案】解：（1）∵y=x+3与坐标轴分别交与A、B两点，∴A点坐标（﹣3，0）、B点坐标（0，3）。∵抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A、B两点，∴9a3b3a03a3，解得a1b2。∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3。∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点C的坐标为（﹣1，4）。（2）∵B、D关于MN对称，C（﹣1，4），B（0，3），∴D（﹣2，3）。∵B（3，0），A（﹣3，0），∴OA=OB。又∠AOB=90°，∴∠ABO=∠BAO=45°。∵B、D关于MN对称，∴BD⊥MN。又∵MN⊥X轴，∴BD∥X轴。用心爱心专心4∴∠DBA=∠BAO=45°。∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°。∴∠ABC=180°﹣∠DBO=90°。∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°。∵CM⊥BD，∴∠MCB=45°。∵B，D关于MN对称，∴∠CDM=∠CBD=45°，CD∥AB。又∵AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形。∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是直角梯形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的顶点和对称轴，轴对称的性质，平行的判定和性质，直角梯形的判定。【分析】（1）先根据直线y=x+3求得点A与点B的坐标，然后代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得其顶点坐标即可。（2）根据B、D关于MN对称，C（﹣1，4），B（0，3）求得点D的坐标，然后得到AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形，再根据∠ABC=90°得到四边形ABCD是直角梯形。2.（吉林长春7分）如图，平面直角坐标系中，抛物线32212xxy交y轴于点A．P为抛物线上一点，且与点A不重合．连结AP，以AO、AP为邻边作OAPQ，PQ所在直线与x轴交于点B．设点P的横坐标为m．（1）点Q落在x轴上时m的值．（3）若点Q在x轴下方，则m为何值时，线段BQ的长取最大值，并求出这个最大值．【参考公式：二次函数)0(2acbxaxy的顶点坐标为（abacab44,22）】【答案】解：（1）令x=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在x轴上时，PQ=OA=3。在y=12x2－2x＋3中，令y=3可求得点P横坐标m=4。（2）∵QB=OA-PB=3-PB，∴当PB取最小值时，QB最大。当x=2时，二次函数y=12x2－2x＋3有最小值y=1。∴当m=2时，QB的最大值为2。【考点】二次函数综合题，点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】（1）可以令x=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在x轴上时，PQ=OA=3，即可得出y=3时m的值。用心爱心专心5（2）根据当PB取最小值时，QB最大，当x=2时，二次函数y=12x2－2x＋3有最小值即可得出答案。3.（山东济南9分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0)．抛物线24=9yxbxc经过点A、C，与AB交于点D．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线24=9yxbxc的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接．．写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)由点A、C在抛物线24=9yxbxc上，得28=40=669cbc，解之，得4=3=8bc。∴抛物线的函数解析式为244=893yxx。(2)①作QE⊥X轴于E，QF⊥Y轴于F。∵OC＝6，OA＝8，∴AC＝10。由△AFQ∽△AOE，有FQAQ3,FQOCAC5m。∴EC＝OC－OE＝OC－FQ＝6－331055mm。∴21133SPCEC1030822510mmmmm。用心爱心专心6②存在。坐标为（342，）,（32，8），（31722，6+）或（31722，6-）。【考点】二次函数的性质和应用，点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理的逆定理。【分析】(1)根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，可求出抛物线的函数解析式。（2）①把△CPQ的高表示成m的函数即可求出S关于m的函数表达式。②∵223315S3510102mmm∴当m＝5时，S最大。此时点Q的坐标为（3，4）。（这一点同①用相似三角形可证）又∵点D在抛物线244=893yxx上，∴有2448=893xx，解之可得点D横坐标3。∴当S最大时，点D和点Q在直线x＝3上。又∵224443=8=99392yxxx，∴抛物线244=893yxx对称轴l为3=2x。∴如果DQ是直角边，则当点F的纵坐标与点D或点Q在同一水平线，即=84yy或时，△DFQ为直角三角形。此时点F的坐标为（342，）或（32，8）。如果DQ是斜边，则当点F的坐标满足222FDFQDQ时，△DFQ为直角三角形。设点F的坐标为（32k，）则DQ2＝16，22223265FD381624kkk，2222373FQ34824kkk。∴22265731681644kkkk，即24481370kk，解之，得1672k。∴此时点F的坐标为（31722，6+）或（31722，6-）。综上所述，对称轴l上，使△DFQ为直角三角形的点F的坐标为：（342，）,（32，8），（31722，6+）或（31722，6-）。用心爱心专心74.（广东广州14分）已知关于x的二次函数20yaxbxca＝的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．【答案】解：（1）把C（0，1）代入二次函数2yaxbxc＝得：1＝0＋0＋c，解得：c＝1。∴c的值是1。（2）由（1）二次函数为21yaxbx＝，把A（1，0）代入得：0＝a＋b＋1，∴b＝－1－a。∵二次函数为21yaxbx＝与x轴有两个交点，∴一元一次方程210axbx＝根的判别式∆＞0，即22214=211aaaaa＝＞0，∴a≠1且a＞0。∴a的取值范围是a≠1且a＞0。（3）证明：∵0＜a＜1，∴B在A的右边，设A（1，0），B（bx，0），∵2110axax＝由根与系数的关系得：1＋bx＝1aa，∴1bxa＝。∴AB＝111aaa＝。把y＝1代入二次函数得：2111axax＝解得：x1＝0，x2＝1aa，∴CD＝1aa。过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，则MN⊥x轴，∵CD∥AB，∴△CPD∽△BPA。用心爱心专心81PMCDPN11,PNPM1PNAB1PN22aaaaaa＝＝。＝，＝。∴1211111111SSCDPMABPN1222222aaaaaa＝＝＝。即不论a为何值，S1－S2的值都是常数。这个常数是1。【考点】二次函数综合题，解一元一次方程，解二元一次方程组，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c。（2）把A（1，0）代入得到0＝a＋b＋1，推出b＝－1－a，求出方程210axbx＝的∆的值即可。（3）设A（1，0），B（bx，0），由根与系数的关系求出AB1aa＝，把y＝1代入抛物线得到方程2111axax＝，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，根据△CPD∽△BPA，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1－S2的值即可。5.（江西省B卷10分）已知：抛物线2(2)yaxb(0)ab的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）.(1)直接写出抛物线对称轴方程；（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？