【优化方案】2012高中数学-第2章2.3.2双曲线的简单几何性质课件-新人教A版选修2-1

2．3.2双曲线的简单几何性质学习目标1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质．2.能解决一些简单的双曲线问题．课堂互动讲练知能优化训练2.3.2双曲线的简单几何性质课前自主学案课前自主学案温故夯基1.椭圆x225＋y29＝1上点的坐标范围是____________，顶点是________，______，_________，_______，离心率是e＝45.2．双曲线x216－y29＝1的焦点坐标为____________.|x|≤5，|y|≤3A1(－5,0)A2(5,0)B1(0，－3)B2(0,3)(－5,0)，(5,0)知新益能双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形几何性质范围______________焦点________________________________顶点________________________________对称性关于_________对称，关于_____对称实、虚轴长实轴长为___，虚轴长为___离心率双曲线的焦距与实轴长的比，即e＝___渐近线方程y＝____y＝____|x|≥a|y|≥aF1(－c,0)、F2(c,0)F1(0,－c)、F2(0,c)A1(－a,0)、A2(a,0)A1(0,－a)、A2(0,a)x、y轴原点2a2bca±bax±abx问题探究在双曲线的标准方程中，a、b能相等吗？提示：a、b能相等，相等时双曲线叫做等轴双曲线．课堂互动讲练双曲线的简单几何性质考点突破求双曲线的性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出双曲线的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标、渐近线方程等几何性质．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【思路点拨】将双曲线方程变为标准形式，确定a，b，c后求解．例1【解】将9y2－4x2＝－36变形为x29－y24＝1，即x232－y222＝1，所以a＝3，b＝2，c＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程y＝±bax＝±23x.互动探究把本例中的双曲线方程改为9y2－4x2＝36，再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解：把方程9y2－4x2＝36化为标准形式为y24－x29＝1，∴a＝2，b＝3，c＝13，∴顶点为(0，－2)，(0,2)，焦点坐标为(0，－13)，(0，13)，离心率e＝ca＝132.渐近线方程为y＝±23x.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．首先，利用性质判断焦点的位置,设出双曲线的标准方程；再由已知构造关于参数的方程求得．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0),从而直接求得．由双曲线的几何性质求标准方程分别求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，离心率是54；(2)焦距为20，渐近线方程为y＝±12x；(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．例2【思路点拨】分析双曲线的几何性质→求a，b，c→确定讨论焦点位置→求双曲线的标准方程【解】(1)由已知设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．则2a＝8，∴a＝4.由e＝ca＝54得c＝5.∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.∴所求双曲线方程为x216－y29＝1.(2)当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∴ba＝12，且2c＝20.∴c＝10，又c2＝a2＋b2.∴a2＝80，b2＝20.∴所求双曲线方程为x280－y220＝1.当焦点在y轴上时，设所求双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．∴ab＝12，即b＝2a.又2c＝20，∴c＝10.又c2＝a2＋b2，∴a2＝20，b2＝80.∴所求双曲线方程为y220－x280＝1.(3)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k(k≠0)，将点(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y22－x24＝1.求双曲线的离心率求双曲线的离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝ca；二是依据条件提供的信息建立关于参数a，b，c的等式，进而转化为关于离心率e的方程，解出e的值．(2010年高考辽宁卷)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.3＋12D.5＋12例3【思路点拨】利用直线FB与渐近线垂直可推导a、b、c等式关系，从而转化为关于e的方程.【解析】设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a，b0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－bc.又渐近线的斜率为±ba，所以由直线垂直关系得－bc·ba＝－1·(－ba显然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝5＋12(负值舍去)．【答案】D直线与双曲线的位置关系解直线与双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程．再根据一元二次方程去讨论直线与双曲线的位置关系．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点F2，与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．【思路点拨】先写出直线方程，代入双曲线方程，利用根与系数的关系判断．例4【解】∵a＝1，b＝3，c＝2，又直线l过点F2(2,0)，且斜率k＝tan45°＝1，∴l的方程为y＝x－2.由y＝x－23x2－y2＝3消去y并整理得2x2＋4x－7＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－720，∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上．∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－72，∴|AB|＝1＋12|x1－x2|＝2·x1＋x22－4x1x2＝2·－22－4－72＝6.【名师点评】讨论直线与双曲线的位置关系，一般化为关于x(或y)的一元二次方程，这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x(或y)的一元一次方程，只有一个解．这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项的系数不为－时，利用根的判别式，判断直线与双曲线的位置关系.方法感悟1．求双曲线的方程，若焦点位置不确定，需分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论．2．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．