【优化方案】2012高中数学-第3章3.1.5空间向量运算的坐标表示课件-新人教A版选修2-1

3．1.5空间向量运算的坐标表示学习目标1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．课堂互动讲练知能优化训练3.1.5空间向量运算的坐标表示课前自主学案课前自主学案温故夯基若平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)；a·b＝x1x2＋y1y2；λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)；|a|＝x21＋y21；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22知新益能1．空间向量的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝_______________________；(2)a－b＝_______________________；(3)λa＝________________(λ∈R)；(4)a·b＝________________；(5)a∥b⇔________,________,_________(λ∈R)；(6)a⊥b⇔___________________；(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(7)|a|＝a·a＝____________；(8)cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝_______________________.2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(1)AB→＝________________________；(2)dAB＝________________________________.x2－x12＋y2－y12＋z2－z12a21＋a22＋a23a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23(x2－x1，y2－y1，z2－z1)提示：正确．2．如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算之间的关系？提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致．问题探究1．在空间直角坐标系Oxyz中，向量AB→的坐标与向量OB→－OA→的坐标相同．这一判断是否正确？课堂互动讲练空间向量的坐标运算考点突破向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时,向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．例1知O为原点，A，B，C，D四点的坐标分别为：A(2，－4,1)，B(3,2,0)，C(－2,1,4)，D(6,3,2)．求满足下列条件的点P的坐标．(1)OP→＝2(AB→－AC→)；(2)AP→＝3(AB→－DC→)．【思路点拨】(1)AB→－AC→＝CB→⇒CB→坐标⇒OP→坐标⇒点P坐标；(2)A，B，C，D坐标⇒AB→，DC→坐标⇒AB→－DC→的坐标⇒3(AB→－DC→)坐标⇒AP→坐标⇒点P坐标．【解】(1)AB→－AC→＝CB→＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)，∴OP→＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)，∴点P的坐标为(10,2，－8)．(2)设P(x，y，z)，则AP→＝(x－2，y＋4，z－1)．又AB→＝(1,6，－1)，DC→＝(－8，－2,2)，∴AB→－DC→＝(9,8，－3)，∴(x－2，y＋4，z－1)＝(9,8，－3)，∴x－2＝9y＋4＝8z－1＝－3，解得x＝11y＝4z＝－2，∴点P的坐标为(11,4，－2)．坐标形式下平行与垂直条件的应用利用空间向量的坐标运算来解题，要熟练掌握以下两个常用的充要条件，若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a∥b⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.例2已知空间三点A(－2,0,2)、B(－1,1,2)、C(－3,0,4)．设a＝AB→，b＝AC→.(1)若|c|＝3，c∥BC→，求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.【思路点拨】(1)根据c与BC→共线，设c＝λBC→λ∈R→根据模列出关系式→求λ→求C(2)写出ka＋b，ka－2b的坐标→利用垂直列关系式→求k【解】(1)∵BC→＝(－2，－1,2)且c∥BC→，∴设c＝λBC→＝(－2λ，－λ，2λ)，λ∈R.∴|c|＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a＝AB→＝(1,1,0)，b＝AC→＝(－1,0,2)，∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－52.互动探究将本例中条件“若向量ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若向量ka＋b与a＋kb互相平行”，其他条件不变，求k的值．解：a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，b＝(－3＋2,0－0，4－2)＝(－1,0,2)，∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，a＋kb＝(1,1,0)＋(－k,0,2k)＝(1－k,1,2k)，∵ka＋b与a＋kb平行，∴ka＋b＝λ(a＋kb)(λ∈R)，即(k－1，k,2)＝λ(1－k,1,2k)．∴k－1＝λ1－kk＝λ·12＝λ·2k，∴k＝－1λ＝－1或k＝1λ＝1，∴k的值为±1.利用向量的坐标表示求夹角和距离利用空间直角坐标系解立体几何中的题，需首先建立空间直角坐标系，选取图中有公共起点且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴；再利用公式解决夹角、模等问题．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点．(1)求证：EF⊥CF；(2)求CE的长．例3【思路点拨】建系→确定所需点的坐标→求出相关向量的坐标→利用向量的夹角、距离公式求解→结论【解】(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则D(0,0,0)，E0，0，12，C(0,1,0)，F12，12，0，G1，1，12.∴EF→＝12，12，－12，CF→＝12，－12，0.∴EF→·CF→＝12×12＋(－12)×12＋－12×0＝0.∴EF→⊥CF→，即EF⊥CF.(2)由(1)知CE→＝(0，－1，12)，∴|CE→|＝02＋－12＋122＝52.【名师点评】在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求，利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．方法感悟1．空间向量在几何中的应用有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直；利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用．2．关于空间直角坐标系的建立建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标．