直线与圆解法

1/9高考中数学直线和圆的解法1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围,0。如（1）直线023cosyx的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，）；（2）过点),0(),1,3(mQP的直线的倾斜角的范围m那么],32,3[值的范围是______（答：42mm或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的直线的斜率为212121xxxxyyk；（3）直线的方向向量(1,)ak，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线：ABBCkk。提醒：（1）直线的倾斜角α一定存在，但斜率不一定存在。（2）直线的倾斜角与斜率的变化关系：若直线存在斜率k，而倾斜角为α，则k=tanα.当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角α的增大而增大。当α是钝角时，k与α同增减.（3）斜率的求法：依据倾斜角：，2tank，牢记图像依据两点的坐标：211212xxxxyyk依据直线方程：化为斜截式αOK2/9当已知k，求倾斜角α时：k≥0时，α=arctank；k0时，α=π+arctank。（4）kal，的方向向量之一：直线1（你知道如何由直线的方向向量来求斜率吗？）如(1)两条直线斜率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,xy满足3250xy(31x)，则xy的最大值、最小值分别为______（答：2,13）3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yykxx,它不包括垂直于x轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。（3）两点式：已知直线经过111(,)Pxy、222(,)Pxy两点，则直线方程为121121xxxxyyyy，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为,ab,则直线方程为1byax，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成0AxByC(A,B不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(－1,3)的直线的点斜式方程是___________（答：13(2)yx）；（2）直线(2)(21)(34)0mxmym，不管m怎样变化恒过点______（答：(1,2)）；（3）若曲线||yax与(0)yxaa有两个公共点，则a的取值范围是_______（答：1a）提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相3/9等直线的斜率为1或直线过原点。如过点(1,4)A，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；（2）知直线横截距0x，常设其方程为0xmyx(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()ykxxy，当斜率k不存在时，则其方程为0xx；（4）与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC（1CC）；（5）与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC.（6）已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过l1与l2交点的直线系（不含l2）.不仅可以建立直线方程还可解决直线过定点问题.提醒：（1）求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。（2）求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.（3）求一个角的平分线所在的直线方程的方法：法一、利用角的平分线所在的直线的方向向量①由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量12vv、；②求出角平分线的方向向量1212vvvvv③由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P（00,xy），其方向向量为(,)vab，其方程为00xxyyab}法二、利用角平分线定理：法三、利用点到直线的距离公式：设),(yxP为角平分线所在直线上的任意一点，通过),(yxP到两边距离相等而得.5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点00(,)Pxy到直线0AxByC的距离0022AxByCdAB；4/9（2）两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。提醒：（1）公式要求直线方程为一般式.（2）求平行直线间的距离时，一定要把x、y项系数化成对应相等的系数.6、直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC的位置关系：（1）平行12210ABAB（斜率）且12210BCBC（在y轴上截距）；（2）相交12210ABAB；（3）重合12210ABAB且12210BCBC。提醒：（1）111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC垂直12120AABB。如（1）设直线1:60lxmy和2:(2)320lmxym，当m＝_______时1l∥2l；当m＝________时1l2l；当m_________时1l与2l相交；当m＝_________时1l与2l重合（答：－1；12；31且mm；3）；（2）已知直线l的方程为34120xy，则与l平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答：3490xy）；（3）两条直线40axy与20xy相交于第一象限，则实数a的取值范围是____（答：12a）；（4）设,,abc分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sin0Axayc与sinsin0bxByC的位置关系是____（答：垂直）；（5）已知点111(,)Pxy是直线:(,)0lfxy上一点，222(,)Pxy是直线l外一点，则方程1122(,)(,)(,)fxyfxyfxy＝0所表示的直线与l的关系是____（答：平行）；5/9（6）直线l过点（１，０），且被两平行直线360xy和330xy所截得的线段长为9，则直线l的方程是________（答：43401xyx和）7.对称是平面几何的基本变换，有关对称的一些结论①点（ａ，ｂ）关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称点分别是（ａ，－ｂ），（－ａ，ｂ），（－ａ，－ｂ），（ｂ，ａ）②如何求点A(ａ，ｂ）关于直线Ax+By+C=0的对称点A?上中点在⊥对称关于直线、点lAAlAAlAAkkAAAA''·中点坐标满足方程ll1点关于直线bxy的对称点是什么？③直线Ax+By+C=0关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点（ａ，ｂ）对称的直线方程又是什么？你能用哪些方法来求一条直线关于另一条直线的对称直线？④如何处理与光的入射与反射问题？8、圆的方程：⑴圆的标准方程：222xaybr。⑵圆的一般方程：22220(DE4F0)＋－xyDxEyF，特别提醒：只有当22DE4F0＋－时，方程220xyDxEyF才表示圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆（二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是什么？（0,AC且0B且2240DEAF））；在圆的标准方程)0()()(222rrbyax中有三个参数rba,,；在圆的一般方程022FEyDxyx中，也有三个参数FED,,。所以说三个互相独立的条件确定一个圆。在平面几何中也是熟悉的事实：不共线的三点唯一地确定一个圆。确定一个圆，包括确定圆的位置和大小两个方面。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。又称圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。⑶圆的参数方程：cossinxarybr（为参数），其中圆心为(,)ab，半径为r。在参数方程sincosrbyrax中，当为参数，t为常量)0(t时表示一个圆，有几何意义；6/9而当t为参数，为常量时，表示一条直线，t也有几何意义。圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos,sinxyrxryr；22xytcos,sin(0)xryrrt。⑷1122A,,,xyBxy为直径端点的圆方程12120xxxxyyyy过两圆交点的圆系方程设圆0:111221FyExDyxC，圆0:222222FyExDyxC有公共点，则经过圆1C和圆2C的公共点的圆系方程为：0)()(2222211122FyExDyxFyExDyx（其中为参数，1,R，方程不包括圆2C。）在有些问题中需检验圆2C是否也为所求；当1时，该方程是一条直线的方程，此直线就是两圆的公共弦所在直线。3.过直线与圆的交点的圆系方程设直线0:CByAxl与圆022FEyDxyx有公共点，则过其交点的圆系方程为0)()(22CByAxFEyDxyx。如（1）圆C与圆22(1)1xy关于直线yx对称，则圆C的方程为____________（答：22(1)1xy）；（2）圆心在直线32yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：9)3()3(22yx或1)1()1(22yx）；（3）已知(1,3)P是圆cossinxryr（为参数，02)上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________（答：224xy＝；23；340xy）；（4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是____（答：[0，2]）；（5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：21k）；（6）若3cos{(,)|3sinxMxyy（为参数，0)}，bxyyxN|),(，若NM，7/9则b的取值范围是_________（答：3,32－）8、点与圆的位置关系：已知点00M,xy及圆222C0：x-aybrr，（1）点M在圆C外22200CMrxaybr；（2）点M在圆C内22200CMrxaybr；（3）点M在圆C上20CMrxa220ybr。如点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2