高中数学-1.5第2课时-定积分的概念课件-新人教A版选修2-2

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修2-2导数及其应用第一章1.5定积分的概念第一章第2课时定积分的概念典例探究学案2课时作业3自主预习学案1自主预习学案了解定积分的背景，抽象出定积分的概念，能用定义求定积分．重点：定积分的定义与性质．难点：定积分定义的理解及用定义求定积分．1．求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有相同的求解过程，这个过程是否具有一般意义？2．你知道古人是怎样得到球的体积计算公式的吗？3．定积分定义中，区间[a，b]的分法必须是等分吗？ξi的取法有无限制条件？定积分的概念思维导航新知导学1．定积分的概念如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式Sn＝i＝1nf(ξi)Δx＝________________(其中Δx为小区间长度)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的________________，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝_________________．i＝1nb－anf(ξi)定积分limn→∞i＝1n[b－anf(ξi)]这里，a与b分别叫做________与________，区间[a，b]叫做________，函数f(x)叫做________，x叫做________，f(x)dx叫做________．积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式定积分的几何意义和性质思维导航4．①两个定积分之间可以比较大小吗？②积分值abf(x)dx可以是负值吗？下图中阴影部分的面积与abf(x)dx的值相等吗？③积分运算具有怎样的性质？新知导学2．定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有___________，那么定积分abf(x)dx表示由_________________________，y＝0和_____________所围成的曲边梯形的面积．f(x)≥0直线x＝a，x＝b(a≠b)曲线y＝f(x)3．定积分的性质①abkf(x)dx＝__________________(k为常数)；②ab[f1(x)±f2(x)]dx＝________________；③abf(x)dx＝acf(x)dx＋_______________(其中acb)．kabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxcbf(x)dx定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边梯形EBCF的面积的和．1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的图形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为()A．[0，e2]B．[0,2]C．[1,2]D．[0,1][答案]B牛刀小试[解析]解方程组y＝exy＝1，可得x＝0y＝1，所以积分区间为[0,2]，故应选B.2．下列式子中不成立的是()A．a2π＋asinxdx＝a2π＋acosxdxB．0π2sinxdx＝0π2cosxdxC.0πsinxdx＝0πcosxdxD.0π|sinx|dx＝0π|cosx|dx[答案]C[解析]由定积分的几何意义知0πsinxdx0，0πcosxdx＝0，所以C不成立，故应选C.3．下列值等于1的是()A.01xdxB．01(x＋1)dxC.011dxD．0112x2dx[答案]C[解析]由积分的几何意义可知选C.4．由正切曲线y＝tanx，直线x＝0和x＝π4，x轴所围成的平面区域的面积用积分表示为________________．[答案]0π4tanxdx[解析]由定积分的几何意义可知应表示为0π4tanxdx.5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：(1)01xdx________________01x2dx(图1)；(2)01xdx________________12xdx(图2)；(3)024－x2dx________________022dx(图3)．[答案](1)(2)(3)典例探究学案定积分的定义求01x3dx.[分析]这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定义中包含的几个步骤来求01x3dx.[解析](1)分割[0,1]：0＜1n＜2n＜…＜n－1n＜nn＝1.(2)近似代替：作和1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.＝i＝1nin3·1n.(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)(3)取极限：i＝1nin3·1n＝1n4i＝1ni3＝1n4nn＋122＝141＋2n＋1n2，∴01x3dx＝limn→∞141＋2n＋1n2＝14.(此处用到了求和公式13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝nn＋122)因此01x3dx＝14.[方法规律总结]用定义法求积分的步骤(1)分割：将积分区间[a，b]n等分．(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]，可取ξi＝xi－1或者ξi＝xi.(3)求和：i＝1nb－anf(ξi)．(4)求极限：abf(x)dx＝limn→∞i＝1nb－anf(ξi)．利用定积分的定义求ab2dx的值．[解析]令f(x)＝2.(1)分割：在区间[a，b]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[a，b]等分成n个小区间a＋b－ai－1n，a＋b－ain(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为b－an.(2)近似代替、作和：取ξi＝a＋b－ain(i＝1,2，…，n)，则Sn＝i＝1nfa＋b－ain·b－an＝i＝1n2b－an＝2(b－a)．(3)取极限：ab2dx＝limn→∞Sn＝limn→∞2(b－a)＝2(b－a)．定积分的几何意义求－11(x3＋3x)dx.[分析]由于所给定积分为曲线y＝x3＋3x与x＝－1、x＝1及y＝0围成的曲边梯形面积，故由定义可求，但注意被积函数及积分上、下限特点可采用几何意义解决．[解析]∵y＝x3＋3x为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与在x轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知－11(x3＋3x)dx＝0.[方法规律总结]若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方法容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．用定积分的几何意义求值：－13(3x＋1)dx＝___________.[答案]16[解析](1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形如图所示：－13(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴－13(3x＋1)dx＝12×3＋13×(3×3＋1)－12－13＋1·3×(－1)＋1＝503－23＝16.定积分的性质(1)计算－33(9－x2－x3)dx的值；(2)已知f(x)＝xx∈[0，24－xx∈[2，352－x2x∈[3，5]，求f(x)在区间[0,5]上的定积分．[分析]解答本题可先根据积分的几何意义求出相关函数的定积分，再根据定积分的性质进行加减运算．[解析](1)如图，由定积分的几何意义得－339－x2dx＝π×322＝9π2，－33x3dx＝0，由定积分性质得－33(9－x2－x3)dx＝－339－x2dx－－33x3dx＝9π2.(2)由定积分的几何意义得02xdx＝12×2×2＝2，23(4－x)dx＝12×(1＋2)×1＝32，3552－x2dx＝12×2×1＝1.∴05f(x)dx＝02xdx＋23(4－x)dx＋3552－x2dx＝2＋32＋1＝92.[方法规律总结]1.利用定积分的性质求定积分的策略(1)利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合，先把每一个积分求出，再求定积分的值．(2)求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再相加．(3)注意函数f(x)奇偶性、对称性的利用．2．定积分的性质的推广①ab[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx±…±abfn(x)dx；②abf(x)dx＝∫c1af(x)dx＋c1c2f(x)dx＋…＋cnbf(x)dx(其中n∈N＋)．3．奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则－aaf(x)dx＝0.②若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则－aag(x)dx＝20ag(x)dx.计算：π23π2(2－5sinx)dx＝________________.[答案]2π[解析]如图，由定积分几何意义得π23π2sinxdx＝0，由定积分的性质得π23π2(2－5sinx)dx＝2π23π21dx－5π23π2sinxdx＝2π.利用定积分求平面图形的面积[分析]可先作出函数图象，再根据图象及几何意义进行表示．将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示．(1)y＝0，y＝x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2.[解析](1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为S，则S＝02xdx(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，S＝A1＋A2，A1由y＝x，y＝－x，x＝1围成；A2由y＝x，y＝x－2，x＝1和x＝4围成．∴A1＝01[x－(－x)]dx，A2＝14[x－(x－2)]dx，∴S＝012xdx＋14(x－x＋2)dx.[方法规律总结]用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：(1)准确画出各曲线围成的平面区域；(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；(3)解由曲线方程组成的方程组，确定积分的上、下限；(4)根据积分的性质写出结果．画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面积．(1)y＝|sinx|，y＝0，x＝2，x＝5.(2)y＝log12x，y＝0，x＝12，x＝3.[解析](1)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S，则S＝25|sinx|dx或S＝2πsinxdx＋π5(－sinx)dx＝2πsinxdx－π5sinxdx.(2)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S.则S＝112log12xdx－13log12xdx.错用定积分的几何意义致误由y＝cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为________________．[错解]根据曲边梯形的面积计算和定积分的几何意义，得所求面积为02πcosxdx.[辨析]由于所围成的平面图形，有的在x轴上方，有的在x轴下方，其定积分值有的为正，有的为负，其位于x轴下方的面积应为积分值的相反数．[正解]由y＝cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形可以分成三部分：[0，π2]，