圆中常见的辅助线的添法

小专题(十五)圆中常见的辅助线的添法圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站．圆上若有一切线，切点圆心半径连．要想证明是切线，半径垂线仔细辨．是直径，成半圆，想成直角径连弦．弧有中点圆心连，垂径定理要记全．圆周角边两条弦，直径和弦端点连．还要作个内切圆，内角平分线梦圆．三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算．一、连半径——构造等腰三角形1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．二、半径与弦长计算，弦心距来中间站方法归纳：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，求排水管内水的深度．三、见到直径——构造直径所对的圆周角方法归纳：构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径方法归纳：已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G，连接AG交CD于K.求证：KE＝GE.五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切方法归纳：证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．5．(呼伦贝尔中考)如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA＝5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.(1)求证：AB＝AC；(2)若PC＝25，求⊙O的半径．六、内切圆，连接内角平分线把梦圆方法归纳：利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．6．如图，△ABC中，E是内心，AE延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：DE＝DB.七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积方法归纳：通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，①可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．7．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．参考答案1．证明：连接OA，OB，∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∴∠OAB＝∠OBA.∴∠OAC＝∠OBD.在△AOC和△BOD中，OA＝OB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，∴△AOC≌△BOD.∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形．2.过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D，E，连OA，OA＝0.5m，AB＝0.8m，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝0.4m，在Rt△AOC中，OA2＝AC2＋OC2，∴OC＝0.3m，则CE＝0.3＋0.5＝0.8(m)．3.连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ADC＝50°，∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝40°.∵∠CDB与∠CAB是同弧所对的圆周角，∴∠CDB＝∠CAB＝40°.∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°.4.证明：连接OG.∵FE切⊙O于G，∴∠OGE＝90°，∠OGA＋∠AGE＝90°.∵CD⊥AB，∴∠OAK＋∠AKH＝90°.又∵∠AKH＝∠GKE，∴∠OAK＋∠GKE＝90°.∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠OAG.∴∠KGE＝∠GKE，∴KE＝GE.5.(1)证明：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB.∴∠ABC＋∠OBC＝90°.∵OA⊥l，∴∠ACB＋∠APC＝90°.∵OB＝OP，∴∠OPB＝∠OBC.∵∠OPB＝∠APC，∴∠APC＝∠OBC.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.(2)设半径为r，∵OA＝5，∴AP＝5－r.在Rt△ABO中，AB2＝52－r2＝AC2，在Rt△ACP中，AC2＋AP2＝PC2，PC＝25，∴52－r2＋(5－r)2＝(25)2.∴r＝3.∴⊙O的半径为3.6.证明：连接BE.∵E为△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC.∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠DBE，∴DE＝DB.7.连接OB，OC.∵BC∥OA，∴△OBC和△ABC同底等高，∴S△ABC＝S△OBC，∴S阴影＝S扇形OBC.∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB.∵OA＝4，OB＝2，∴∠AOB＝60°.∵BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝60°.∵OB＝OC，∴△OBC为正三角形．∴∠OCB＝60°，∴S阴影＝S扇形OBC＝60π×22360＝2π3.