高考数学一轮复习热点难点精讲精析8.6抛物线

12014年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.6抛物线（一）抛物线的定义及应用※相关链接※1．抛物线的离心率e=1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化。2．焦半径它们在解题中有重要作用，注意灵活运用。※例题解析※〖例〗已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5。若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段长为原抛物线C在x轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程。解答：设所求抛物线方程为(x-h)2=a(y-k)(a∈R,a≠0)①由①的顶点到原点的距离为5，得22kh=5②在①中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。设方程的二根为x1,x2，则|x1-x2|=2ak。将抛物线①向上平移3个单位，得抛物线的方程为(x-h)2=a(y-k-3)令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。设方程的二根为x3,x4，则|x3-x4|=2aak3。依题意得2aak3=21·2ak，即4(ak+3a)=ak③将抛物线①向左平移1个单位，得(x-h+1)2=a(y-k),由抛物线过原点，得(1-h)2=-ak④由②③④得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。∴所求抛物线方程为(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。（二）抛物线的标准方程与几何性质2※相关链接※1．求抛物线的标准方程常采用待定系数法。利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值；2．对于直线和抛物线有两个交点问题，“点差法”是常用法。如若1122(,),(,)AxyBxy是抛物线22ypx上两点，则直线AB的斜率ABk与12yy可得如下等式212ABpkyy。注：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。※例题解析※〖例〗已知如图所示，抛物线22(0)ypxp的焦点为F，A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5。过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M。（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标。思路解析：由抛物线定义求p→求直线FA，MN的方程→解方程组得N点坐标。解答：（1）抛物线22(0)ypxp的准线为2px于是4+2p=5，∴p=2．∴抛物线方程为y2=4x（２）∵点A的坐标是（４，４），由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0),∴43FAk.∵MN⊥FA,∴34MNk.则FA的方程为4(1)3yx,MN的方程为y-2=34x,解方程组4(1)33y2x4yx,得8545xy∴84(,)55N.3(三)直线与抛物线的位置关系※相关链接※1.直线与抛物线的位置关系设抛线方程为22(0)ypxp,直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my2+ny+q=0,(1)若m≠0,当⊿＞0时,直线与抛物线有两个公共点;当⊿=0时,直线与抛物线只有一个公共点;当⊿＜0时,直线与抛物线没有公共点.(2)若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行.2.焦点弦问题已知AB是过抛物线22(0)ypxp的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则(1)y1·y2=-p2,1x·2x=24p;（2）1222||();sinpABxxpAB为直线的倾斜角（3）22sinABCpS；（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。※例题解析※〖例〗已知抛物线方程为)0)(1(22pxpy，直线myxl:过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。解析：设l与抛物线交于1122(,),(,),||3.AxyBxyAB则由距离公式|AB|=221221)()(yyxx=21212122191||2||,().2yyyyyyk则有由.02,).1(2,21222ppyyxxpypyx得消去.,2.04)2(2212122pyypyypp4从而.294)2(,4)()(2221221221ppyyyyyy即由于p0，解得.43p（四）抛物线的实际应用〖例〗如图，1l，2l是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称．M到L1、L2的距离分别是2km、4km，N到L1、L2的距离分别是3km、9kin．（1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程；（Ⅱ）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于6km．求此厂离点0的最近距离．（注：工厂视为一个点）解析：（1）分别以1l、2l为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2，4），N（3，9）设MN所在抛物线的方程为caxy2，则有caca9944，解得01ca∴所求方程为2xy（2≤x≤3）5分（说明：若建系后直接射抛物线方程为)0(22ppyx，代入一个点坐标求对方程，本问扣2分）5（2）设抛物线弧上任意一点P（x，2x）（2≤x≤3）厂址为点A（0，t）（5＜t≤8)，由题意得222)(||txxPA≥6∴)6()21(224txtx≥07分令2xu，∵2≤x≤3，∴4≤u≤9∴对于任意的]9,4[u，不等式)6()21(22tutu≥0恒成立（*）8分设)6()21()(22tutuuf，∵t5≤8∴22129t≤215.要使（*）恒成立，需△≤0，即)6(4)12(22tt≤010分解得t≥425，∴t的最小值为425所以，该厂距离点O的最近距离为6.25km12分注：对实际应用问题，首先应审清题意，找出各量之间的关系，建立数学模型，然后用数学的方法解答，并回到实际问题中验证其正确性。