1982年全国统一高考数学试卷(理科)

1982年全国统一高考数学试卷（理科）一、填空题（共1小题，每小题6分，满分6分）1．（6分）填表：二、解答题（共9小题，满分94分）2．（4分）求（﹣1+i）20展开式中第15项的数值；3．（5分）求的导数．4．（9分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形．（1）；（2）．5．（12分）已知圆锥体的底面半径为R，高为H求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）．6．（14分）设0＜x＜1，a＞0，a≠1，比较|loga（1﹣x）|与|loga（1+x）|的大小（要写出比较过程）．7．（16分）如图，已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c2，今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线．8．（16分）已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形．9．（18分）抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切．10．已知数列a1，a2，…an，…和数列b1，b2，…，bn…，其中a1=p，b1=q，an=pan﹣1，bn=qan﹣1+rbn﹣1（n≥2），（p，q，r是已知常数，且q≠0，p＞r＞0），用p，q，r，n表示bn，并用数学归纳法加以证明．1982年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共1小题，每小题6分，满分6分）1．（6分）填表：考点：函数的定义域及其求法．专题：压轴题．分析：分别按各自函数的定义和性质直接填空即可．解答：解：由题意依据函数的定义和性质，直接填表：点评：本题考查各类函数的定义和性质，是基础题，考查基础知识的记忆．二、解答题（共9小题，满分94分）2．（4分）求（﹣1+i）20展开式中第15项的数值；考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第15项，利用虚数单位的平方为﹣1及组合数公式化简此项．解答：解：第15项T15=C2014（﹣1）6（i）14=﹣C206=﹣38760．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．3．（5分）求的导数．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：利用复合函数的求导公式[u（v）]'=[u'（v）]*v'（u（v）为复合函数f[g（x）]），求解即可．解答：解：==．点评：本题考查了复合函数的导数，属于基本运算4．（9分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形．（1）；（2）．考点：椭圆的参数方程；三阶矩阵．专题：计算题；作图题．分析：（1）根据三阶行列式的运算公式a11（a22a33﹣a23a32）﹣a12（a21a33﹣a31a23）+a13（a21a32﹣a31a22）=0化简得2x﹣3y﹣6=0，显然为直线方程；（2）根据同角三函数sin2φ+cos2φ=1消去φ可得曲线的方程，显然是以（1，0）点为中心的椭圆．解答：解：（1）根据三阶行列式的运算公式有a11（a22a33﹣a23a32）﹣a12（a21a33﹣a31a23）+a13（a21a32﹣a31a22）=0；化简得2x﹣3y﹣6=0；其图形是直线．（2）根据同角三函数sin2φ+cos2φ=1；消去φ可得曲线的方程为，图形是椭圆点评：本题主要考查了椭圆的参数方程，以及三阶行列式的求解等基础知识，属于基础题．5．（12分）已知圆锥体的底面半径为R，高为H求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；平均值不等式．专题：计算题；函数思想；转化思想．分析：先设出圆柱的底面半径，高为h，利用三角形相似，推出r的表达式，然后求出体积表达式，利用均值不等式，求出体积最大值时的圆柱体的高h．解答：解：设圆柱体半径为r高为h由△ACD∽△AOB得．由此得，圆柱体体积．由题意，H＞h＞0，利用均值不等式，有原式=．当，时上式取等号，因此当时，V（h）最大．点评：本题考查旋转体的体积，考查均值不等式求函数的最值，是中档题．6．（14分）设0＜x＜1，a＞0，a≠1，比较|loga（1﹣x）|与|loga（1+x）|的大小（要写出比较过程）．考点：不等式比较大小．专题：做商法．分析：此题有两种比较大小的方法①做差比较大小②做商比较大小，解本题的另一关键不要忽视对a的分类讨论．解答：解一：当a＞1时，|loga（1﹣x）|=﹣loga（1﹣x），|loga（1+x）|=loga（1+x），|loga（1﹣x）|﹣|loga（1+x）|=﹣[loga（1﹣x）+loga（1+x）]=﹣loga（1﹣x2）．∵a＞1，0＜1﹣x2＜1，∴﹣loga（1﹣x2）＞0，∴|loga（1﹣x）|＞|loga（1+x）|．当0＜a＜1时，|loga（1﹣x）|=loga（1﹣x），|loga（1+x）|=﹣loga（1+x），|loga（1﹣x）|﹣|loga（1+x）|=loga（1﹣x2）．∵0＜a＜1，0＜1﹣x2＜1，∴loga（1﹣x2）＞0，∴|loga（1﹣x）|＞|loga（1+x）|．因此当0＜x＜1，a＞0，a≠1时，总有|loga（1﹣x）|＞|loga（1+x）|．解二：∵，∵1+x＞1，0＜1﹣x＜1，原式=﹣∵1+x＞1，0＜1﹣x2＜1，log1+x（1﹣x2）＜0∴原式＞1，即，∴|loga（1﹣x）|＞|loga（1+x）|．点评：本题考查比较大小的问题，且两种常见方法①做差比较大小②做商比较大小，均适用，具有代表性，同时考查了对数的运算及对底数的讨论，比较典型．7．（16分）如图，已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c2，今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线．考点：轨迹方程．专题：计算题．分析：设P的极点坐标为（ρ，θ），进而可分别）∠POM，∠NOM，OM，PM，ON，PN．根据四边形PMON的面积公式可得动点P的轨迹的极坐标方程化简后用x=ρcosθ，y=ρsinθ化为直角坐标方程上式为即可得到答案．解答：解：设P的极点坐标为（ρ，θ），∴∠POM=α﹣θ，∠NOM=α+θ，OM=ρcos（α﹣θ），PM=ρsin（α﹣θ），ON=ρcos（α+θ），PN=ρsin（α+θ），四边形PMON的面积[cos（α﹣θ）sin（α﹣θ）+cos（α+θ）sin（α+θ）]依题意，动点P的轨迹的极坐标方程是：[cos（α﹣θ）sin（α﹣θ）+cos（α+θ）sin（α+θ）]=c2用倍角公式化简得[sin2（α﹣θ）+sin2（α+θ）]=c2用和差化积公式化简得sin2αcos2θ=c2即．用x=ρcosθ，y=ρsinθ化为直角坐标方程上式为．即．这个方程表示双曲线由题意，动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分．点评：本题主要考查了根据极点坐标求轨迹的方程问题．此类题常涉及三角函数的问题，故应熟练记忆三角函数的公式．8．（16分）已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形．考点：棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：先证MN∥QP，MQ∥NP，推出MNPQ是平行四边，再证MQ⊥QP，就是MNPQ是矩形．解答：证明：连接AC，在△ABC中，∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，∴QP∥AC，∴MN∥QP同理，连接BD可证MQ∥NP∴MNPQ是平行四边取AC的中点K，连BK，DK∵AB=BC，∴BK⊥AC，∵AD=DC，∴DK⊥AC．因此平面BKD与AC垂直∵BD在平面BKD内，∴BD⊥AC∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP为直角故MNPQ是矩形．点评：本题考查棱锥的结构特征，直线与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是中档题．9．（18分）抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：设p＞0，q＞0．又设y2=2px的内接三角形顶点为A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），分别代入抛物线方程，依题意，设A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切，由x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴，可知原点O不能是所设内接三角形的顶点推断三个顶点都不能是（0，0）；故可设直线A1A2的方程，进而得A1A2方程代入抛物线方程，整理后根据判别式等于0，求得2p2q+y1y2（y1+y2）=0同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切，A2A3也不能与Y轴平行，即x2≠x3，y2≠﹣y3，同样得到2p2q+y2y3（y2+y3）=0把y2=﹣y1﹣y3代入2p2q+y1y2（y1+y2）=0整理后可说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合，进而可判断只要A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，则A3A1也与抛物线x2=2qy相切．解答：解：不失一般性，设p＞0，q＞0．又设y2=2px的内接三角形顶点为A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3其中y1≠y2，y2≠y3，y3≠y1．依题意，设A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切因为x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴，所以原点O不能是所设内接三角形的顶点即（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），都不能是（0，0）；又因A1A2与x2=2qy相切，所以A1A2不能与Y轴平行，即x1≠x2，y1≠﹣y2，直线A1A2的方程是，∵y22﹣y12=（y2﹣y1）（y2+y1）=2p（x2﹣x1）．∴A1A2方程是y=A1A2与抛物线x2=2qy交点的横坐标满足，由于A1A2与抛物线x2=2qy相切，上面二次方程的判别式△==0．化简得2p2q+y1y2（y1+y2）=0（1）同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切，A2A3也不能与Y轴平行，即x2≠x3，y2≠﹣y3，同样得到2p2q+y2y3（y2+y3）=0（2）由（1）（2）两方程及y2≠0，y1≠y3，得y1+y2+y3=0．由上式及y2≠0，得y3≠﹣y1，也就是A3A1也不能与Y轴平行今将y2=﹣y1﹣y3代入（1）式得：2p2q+y3y1（y3+y1）=0（3）（3）式说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合，即A3A1与抛物线x2=2qy相切所以只要A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，则A3A1也与抛物线x2=2qy相切．点评：本题主要考查抛物线的应用和直线与抛物线的关系．考查了学生综合分析问题和运算能力．10．已知数列a1，a2，…an，…和数列b1，b2，…，bn…，其中a1=p，b1=q，an=pan﹣1，bn=qan﹣1+rbn﹣1（n≥2），（p，q，r是已知常数，且q≠0，p＞r＞0），用p，q，r，n表示bn，并用数学归纳法加以证明．考点：数列递推式；极限及其运算；数学归纳法．专题：综合题；压轴题；探究型；归纳法．分析：先根据an=pan﹣1求出an的表达式，然后代入n=1，2，3进行求出b1、b2、b3的式子，猜想然后用数学归纳法分3步进行证明．解答：解：∵a1=p，an=pan﹣1，∴an=pn．又b1=q，b2=qa1+rb1=q（p+r），b3=qa2+rb2=q（p2+pq+r2），设想用数学归纳法证明：当n=2时，，等式成立；设当n=k时，等式成立，即，则bk+1=qak+rbk=，即n=k+1时等式也成立，所以对于一切自然数n≥2，都成立．点评：本题主要考查数