2011届高三数学二轮复习-专题2 第3讲平面向量

第3讲平面向量要点知识整合1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．2．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量数量积的结果是实数，而不是向量．要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b的运算结果不仅与a，b的长度有关，而且也与a，b的夹角有关，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．3．两非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.题型一平面向量的线性运算热点突破探究典例精析例1如图，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．【解析】法一：如图，OC→＝OB1→＋OA1→，|OB1→|＝2，|OA1→|＝|B1C→|＝4，∴OC→＝4OA→＋2OB→.∴λ＋μ＝6.法二：由OC→＝λOA→＋μOB→，两边点乘OC→，得OC→2＝λOA→·OC→＋0，∴λ＝4.∴OC→＝4OA→＋μOB→，两边点乘OA→，得OC→·OA→＝4＋μOA→·OB→，即3＝4＋μ(－12)．∴μ＝2.∴λ＋μ＝6.【答案】6【题后拓展】共起点的不共线向量OA→，OB→，OC→，模已知，两两夹角已知，则可用任两向量为基底表示第三向量：(1)定义法：如本例，把OC→分解到OB→，OA→上，解三角形求得|OB1→|，|OA1→|即可．(2)待定系数法：在向量等式的两边点乘任一向量，构造关于λ，μ的实系数方程组得解．变式训练1．(2010年高考四川卷)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝()A．8B．4C．2D．1ABACABACAMBC解析：选C.∵BC→2＝16，∴|BC→|＝4.又|AB→－AC→|＝|CB→|＝4，∴|AB→＋AC→|＝4.∵M为BC中点，∴AM→＝12(AB→＋AC→)，∴|AM→|＝12|AB→＋AC→|＝2.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，AC→＝b，求△ABC的面积．题型二平面向量的数量积例2【解】(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61，∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式得a·b＝－6，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.(3)由(1)知∠BAC＝θ＝120°，|AB→|＝|a|＝4，|AC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AC→||AB→|sin∠BAC＝12×3×4×sin120°＝33.【思维升华】(1)准确利用两向量的夹角公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|及向量模的公式|a|＝a·a.(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：①a·b＝0，未必有a＝0，或b＝0；②|a·b|≤|a||b|；③a·(b·c)≠(a·b)·c.变式训练2．已知平面内三个向量：a＝(3,12)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，∴(3,12)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)，∴－m＋4n＝3，2m＋n＝12，解得m＝5，n＝2.所以实数m，n的值分别为5,2.(2)∵a＋kc＝(3,12)＋k(4,1)＝(4k＋3，k＋12)，2b－a＝(－2,4)－(3,12)＝(－5，－8)，又(a＋kc)∥(2b－a)，∴－8(4k＋3)＋5(k＋12)＝0，∴k＝43.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；(2)设α＝π4且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．题型三平面向量与三角函数例3【解】(1)法一：b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．∵－1≤cosβ≤1.∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.当cosβ＝－1，sinβ＝0时，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)．a·(b＋c)＝cosαcosβ＋sinαsinβ－cosα＝cos(α－β)－cosα∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cos(α－β)＝cosα.由α＝π4，得cos(π4－β)＝cosπ4，即β－π4＝2kπ±π4(k∈Z)，∴β＝2kπ＋π2或β＝2kπ，k∈Z，于是cosβ＝0或cosβ＝1.法二：若α＝π4，则a＝(22，22)．又由b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)得a·(b＋c)＝(22，22)·(cosβ－1，sinβ)＝22cosβ＋22sinβ－22.∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cosβ＋sinβ＝1.∴sinβ＝1－cosβ，平方后化简得cosβ(cosβ－1)＝0.解得cosβ＝0或cosβ＝1，经检验，cosβ＝0或cosβ＝1即为所求．【题后拓展】向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性．(1)解这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；(2)常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思想．变式训练3．(2009年高考江苏卷)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.解：(1)由已知得b－2c＝(sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ)，因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sinβ2＝17－15sin2β≤42.又当β＝kπ－π4(k∈Z)时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为42.(3)证明：由tanαtanβ＝16，得4cosαsinβ＝sinα4cosβ，即4cosα·4cosβ－sinα·sinβ＝0，所以a∥b.题型四平面向量与解析几何例4(本题满分12分)已知A(8,0)，B、C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足AB→·BP→＝0，BC→＝CP→.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点，且QM→·QN→＝97，其中Q(－1,0)．求直线l的方程．【规范解答】(1)设B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)，则AB→＝(－8，b)，BP→＝(x，y－b)，BC→＝(c，－b)，CP→＝(x－c，y)．∴AB→·BP→＝－8x＋b(y－b)＝0.①……3分由BC→＝CP→，得c＝x－c－b＝y，∴b＝－y，代入①，得y2＝－4x.5分(2)法一：当直线l的斜率不存在时，x＝8与抛物线没有交点，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－8)……7分设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则QM→＝(x1＋1，y1)，QN→＝(x2＋1，y2)．由QM→·QN→＝97，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝97，即x1x2＋x1＋x2＋1＋k2(x1－8)(x2－8)＝97.∴(1＋k2)x1x2＋(1－8k2)(x1＋x2)＋1＋64k2＝97.②将y＝k(x－8)代入y2＝－4x，得k2(x2－16x＋64)＝－4x，∴k2x2＋(4－16k2)x＋64k2＝0，∴x1＋x2＝16k2－4k2，x1x2＝64……9分代入②式得(1＋k2)64＋(1－8k2)·16k2－4k2＋1＋64k2＝97，整理得k2＝14，∴k＝±12，∴l的方程为y＝±12(x－8)，即x－2y－8＝0或x＋2y－8＝0……12分法二：设直线l的方程为x＝my＋8，代入y2＝－4x，得y2＝－4my－32，∴y2＋4my＋32＝0，∴y1＋y2＝－4m，y1y2＝32.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则QM→＝(x1＋1，y1)，QN→＝(x2＋1，y2)，∴由QM→·QN→＝97，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝97，∴(my1＋9)(my2＋9)＋y1y2＝97，∴(m2＋1)y1y2＋9m(y1＋y2)－16＝0，∴(m2＋1)32＋9m(－4m)－16＝0，∴m2＝4，∴m＝±2，∴直线l的方程为x－2y－8＝0或x＋2y－8＝0.【题后感悟】向量与解析几何都具有数形结合的特征，在它们的知识交汇处的命题通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、长度等．解决向量与解析几何相结合的问题，通常是用向量的坐标运算把已知条件中的两向量平行、垂直、共线、长度等问题转化为解析几何中的条件，使问题坐标化、代数化、符号化，从而应用代数运算来处理解析几何中的相关问题．变式训练4．在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．(1)写出C的方程；(2)若OA→⊥OB→，求k的值解：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝22－32＝1，故曲线C的方程为x2＋y24＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足x2＋y24＝1，y＝kx＋1，消去y并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－2kk2＋4，x1x2＝－3k2＋4.若OA→⊥OB→，则x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－3k2＋4－3k2k2＋4－2k2k2＋4＋1＝0，化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±12.方法突破例在△ABC中，设AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．【解】因为△ABC是直角三角形，所以当∠A＝90°时，则AB→⊥AC→，于是2×1＋3×k＝0，得k＝－23.当∠B＝90°时，则AB→⊥BC→，又BC→＝AC→－AB→＝(－1，k－3)，故2×(－1)＋3(k－3)＝0，得k＝113.当∠C＝90°时，则AC→⊥BC→，故1×(－1)＋k(k－3)＝0得k＝3±132.综上所求k的值为－23或113或3±132.【题后感悟】本题由于直角顶点的位置不确定，需要分类讨论．由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等．高考动态聚焦考情分析从近几年高考看，本讲高考命