2011届高三数学二轮复习-专题3 第1讲等差数列、等比数列

专题三数列第1讲等差数列、等比数列要点知识整合1．等差数列(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(3)前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－d2.(4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可写成an＝pn＋q的形式，前n项和的公式可写成Sn＝An2＋Bn的形式(p，q，A，B为常数)．2．等比数列(1)定义式：an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)通项公式：an＝a1qn－1.(3)前n项和公式：Sn＝na1q＝1，a11－qn1－qq≠1.(4)等比中项公式：a2n＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)．②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p，q，m，n∈N*)．注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可写成an＝pn＋q的形式，前n项和的公式可写成Sn＝An2＋Bn的形式(p，q，A，B为常数)．2．等比数列(1)定义式：an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)通项公式：an＝a1qn－1.(3)前n项和公式：Sn＝na1q＝1，a11－qn1－qq≠1.(4)等比中项公式：a2n＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)．②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p，q，m，n∈N*注意：(1)a＝an－1an＋1是an－1，an，an＋1成等比数列的必要不充分条件．(2)利用等比数列前n项和的公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论．题型一等差与等比数列的基本运算热点突破探究典例精析例1(2010年高考重庆卷)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.【解】(1)∵{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，∴an＝19－2(n－1)＝21－2n，Sn＝19n＋12n(n－1)×(－2)＝20n－n2.(2)由题意得bn－an＝3n－1，即bn＝an＋3n－1，∴bn＝3n－1－2n＋21，Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋3n－12.【题后点评】利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，由五个量a1，d(q)，n，an，Sn中的三个量可求其余两个量，即“知三求二”，体现了方程思想．解答等差、等比数列的有关问题时，“基本量”(等差数列中的首项a1和公差d或等比数列中的首项a1和公比q)法是常用方法．1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b2＝S1，b4＝a2＋a3，求数列{bn}的前n项和Tn.变式训练解：(1)a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1，当n＝1时，上式也成立，所以an＝2n＋1(n∈N*)．（2)设等比数列{bn}的公比为q，则b2＝3，b4＝5＋7＝12，所以b1q＝3，b1q3＝12.解得b1＝32q＝2或b1＝－32，q＝－2.所以Tn＝321－2n1－2或Tn＝－32[1－－2n]1－－2，即Tn＝32(2n－1)或Tn＝12[(－2)n－1]．(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35(2)(2010年高考安徽卷)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZD．Y(Y－X)＝X(Z－X)题型二等差、等比数列的性质例2【解析】(1)由等差数列性质得a3＋a4＋a5＝3a4，由3a4＝12，得a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋a72＝7a4＝28.(2)法一：设数列{an}首项为a1，公比为q，则X＝a1＋a2＋…＋an，Y＝X(1＋qn)，Z＝X(1＋qn＋q2n)，∴Y(Y－X)＝X(1＋qn)·qnX＝X2qn(1＋qn)，X(Z－X)＝X2(qn＋q2n)，∴Y(Y－X)＝X(Z－X)．法二：对任意的等比数列，涉及前2n项和的，可取特殊数列：1，－1,1，－1,1，－1，…，则Y＝0，再取n＝1有X＝1，Z＝1，可排除A、B、C.【答案】(1)C(2)D【题后点评】等差数列与等比数列有很多类似的性质，抓住这些性质可以简化运算过程．例如当p＋q＝m＋n时，在等差数列{an}中有ap＋aq＝am＋an，而在等比数列{bn}中有bp·bq＝bm·bn.这些公式自己结合这两种数列的通项公式推导后可加强记忆与理解．2．(1)在等比数列{an}中，首项a10，则{an}是递增数列的充要条件是()A．q1B．q1C．0q1D．q0(2)已知等差数列{an}满足2a2－a＋2a12＝0，且数列{bn}是等比数列，若b7＝a7，则b5b9＝()A．2B．4C．8D．16变式训练解析：(1)当q0时，{an}为摆动数列，不具备增减性，当q0时，由an－an－1＝a1qn－1－a1qn－2＝a1qn－2(q－1)0，且a10，qn－20.∴q－10，∴q1.综合知0q1.(2)∵2a2－a27＋2a12＝0，∴2(a2＋a12)－a27＝4a7－a27＝0，∴a7＝4或a7＝0.又b7＝a7，数列{bn}是等比数列，∴b7＝a7＝4，∴b5b9＝b27＝16，故选D.答案：(1)C(2)D答案：(1)C(2)D题型三等差、等比数列的判定与证明例3(本题满分12分)已知数列{an}，Sn是它的前n项和，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a1＝1.(1)设bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【规范解答】(1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，即an＋2＝4an＋1－4an，∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，3分∵bn＝an＋1－2an，∴bn＋1＝2bn，由此可知{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列，∴bn＝3·2n－1.6分(2)由(1)知，bn＝3·2n－1，∴an＋1－2an＝3·2n－1，∴an＋12n＋1－an2n＝34，∴数列an2n是首项为a12＝12，公差d＝34的等差数列.9分∴an2n＝12＋34(n－1)＝34n－14，∴an＝(34n－14)·2n＝(3n－1)·2n－2.12分【思维升华】判断某个数列是否为等差(或等比)数列，常用方法有两种：一种是由定义判断，二是看任意相邻三项是否满足等差中项(或等比中项)．注意只要其中的一项不符合，就不能为等差(或等比)数列．而想判断某个数列不是等差(或等比)数列，只需看前三项即可．3．已知数列{an}中，a1＝3，an＝3an－1－2an－1(n≥2，n∈N*)．(1)若数列{bn}满足bn＝an－21－an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式以及最大值，并说明理由．变式训练解：(1)证明：∵an＝3an－1－2an－1(n≥2，n∈N*)，∴bn＝an－21－an＝3an－1－2an－1－21－3an－1－2an－1＝3an－1－2－2an－1an－1－3an－1－2＝an－1－221－an－1＝12bn－1.∴bnbn－1＝12，又∵b1＝－12，故数列{bn}是首项为b1＝－12，公比为12的等比数列．(2)由(1)知，bn＝－(12)n，从而可得an－21－an＝－(12)n，解得an＝1＋11－12n＝2n＋1－12n－1(n∈N*)．∴数列{an}为单调递减数列，∴当n＝1时，an取得最大值3，即数列{an}的最大值是a1＝3.方法突破例已知数列{an}的前n项和为Sn，S15＝S37，a10，三点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一条直线上，则当n＝________时，Sn取得最大值．【解析】由点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一条直线上，得an＋1－an3＝an＋2－an＋13，即2an＋1＝an＋an+2所以数列{an}是等差数列，Sn是关于n的二次函数，又S15＝S37，a10，由二次函数图象性质可知，S26最大．【答案】26【题后拓展】数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作是关于正整数n的函数．利用“数形结合”研究数列问题就是借助函数图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决．高考动态聚焦考情分析从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：1．几乎每年都有与数列有关的选择题、填空题和解答题．对于等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和等基础知识，主要以选择题、填空题的形式考查，难度属于中、低档．2．考查两种数列或将非等差、等比数列模型经过配凑构造转化为等差、等比数列的综合题经常出现，要掌握好它们的公式和性质，做到熟练且灵活的应用．真题聚焦1．(2010年高考重庆卷)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8解析：选A.∵a2010＝8a2007，∴q3＝a2010a2007＝8，∴q＝2.2．(2010年高考福建卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9解析：选A.∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，即a5＝－3，d＝a5－a15－1＝－3＋114＝2，得{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n＝6时，Sn取最小值，故选A.3．(2010年高考辽宁卷)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()A.152B.314C.334D.172解析：选B.an0，a2a4＝a21q4＝1①，S3＝a1＋a1q＋a1q2＝7②.解得a1＝4，q＝12或－13(舍去)，S5＝a11－q51－q＝4×1－1321－12＝314，故选B.4．(2010年高考北京卷)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．解：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3＝－6，a6＝0，所以a1＋2d＝－6，a1＋5d＝0，解得a1＝－10，d＝2.所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，q＝3.所以数列{bn}的前n项和公式为Sn＝b11－qn1－q＝4(1－3n)．