解直角三角形的应用测试题带答案

第1页，共12页解直角三角形的应用测试题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到𝑃𝐵′的位置，测得∠𝑃𝐵′𝐶=𝛼(𝐵′𝐶为水平线)，测角仪𝐵′𝐷的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A.11−sin𝛼B.11+sin𝛼C.11−cos𝛼D.11+cos𝛼2.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠𝐴𝐵𝐷为60∘，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠𝐴𝐶𝐷为45∘，则调整后的楼梯AC的长为()A.2√3𝑚B.2√6𝑚C.(2√3−2)𝑚D.(2√6−2)𝑚2343.楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为𝜃.现要在楼梯上铺一条地毯，已知𝐶𝐴=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要()A.(4+4sin𝜃)米 2B.4cos𝜃米 2C.(4+4tan𝜃)米 2D.(4+4tan𝜃)米 24.上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处(如图).从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45∘和北偏东15∘方向，那么在B处船与小岛M的距离为()A.20海里B.20√2海里C.15√3海里D.20√3海里5.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长m为()A.ℎsin𝛼B.ℎtan𝛼C.ℎcos𝛼D.ℎ−sin𝛼6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30∘，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60∘，则这个电视塔的高度𝐴𝐵(单位：米)为()A.60√3B.61C.60√3+1D.1216787.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西70∘方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20∘方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是()A.南偏东25∘，50√2千米B.北偏西25∘，50√2千米C.南偏东70∘，100千米D.北偏西20∘，100千米8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45∘方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30∘方向上的B处，这时，B处第2页，共12页与灯塔P的距离为()A.60√3nmileB.60√2nmileC.30√3nmileD.30√2nmile9.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度𝑖=1：1.5，则坝底AD的长度为()A.26米B.28米C.30米D.46米9101110.如图是某水库大坝的横截面示意图，已知𝐴𝐷//𝐵𝐶，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度𝑖=1：0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度𝑖=3：4，则大坝底端增加的长度CF是()米．A.7B.11C.13D.20二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形𝐴𝐵𝐶𝐷.已知迎水坡面𝐴𝐵=12米，背水坡面𝐶𝐷=12√3米，∠𝐵=60∘，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan𝐸=313√3，则CE的长为______米.12.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30∘，测得底部C的俯角为60∘，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为______米.(精确到1米，参考数据：√3≈1.73)12141513.小明沿着坡度i为1：√3的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了______𝑚.14.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠𝐴𝐵𝐷为60∘，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠𝐴𝐶𝐷为45∘，则调整后楼梯AC长为______米.15.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34∘的斜坡，从A滑行至B，已知𝐴𝐵=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米.(参考数据：sin34∘≈0.56，cos34∘≈0.83，tan34∘≈0.67)16.如图，为测量某栋楼房AB的高度，在C点测得A点的仰角为30∘，朝楼房AB方向前进10米到达点D，再次测得A点的仰角为60∘，则此楼房的高度为______米(结果保留根号)．16171817.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30∘、45∘，如果此时热气球C处的高度为200米，点A、B、C在同一直线上，则AB两点间的距离是______米(结果保留根号)．第3页，共12页18.如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为20√5𝑚，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为______𝑚.19.如图，某堤坝的斜坡AB的斜角是𝛼，坡度是1：√3，则𝛼=______．20.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75∘，B处的仰角为30∘.已知无人飞机的飞行速度为3米/秒，则这架无人飞机的飞行高度为(结果保留根号)______米.三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60∘，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30∘，𝐴𝐵=14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：√3≈1.73)22.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75∘，B处的仰角为30∘.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)23.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18∘，教学楼底部B的俯角为20∘，量得实验楼与教学楼之间的距离𝐴𝐵=30𝑚．(1)求∠𝐵𝐶𝐷的度数．(2)求教学楼的高𝐵𝐷.(结果精确到0.1𝑚，参考数据：tan20∘≈0.36，tan18∘≈0.32)第4页，共12页24.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，𝐶𝐷=4米，坡角∠𝐷𝐶𝐸=30∘，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60∘，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45∘，其中点A、C、E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30∘，测得大楼顶端A的仰角为45∘(点B，C，E在同一水平直线上)，已知𝐴𝐵=80𝑚，𝐷𝐸=10𝑚，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1𝑚)(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)26.如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：𝐴𝐵=100米，∠𝑃𝐴𝐵=45∘，∠𝑃𝐵𝐴=30∘.请求出小桥PQ的长.(√2≈1.414,√3≈1.732，结果精确到0.1米)第5页，共12页答案和解析【答案】1.A2.B3.D4.B5.A6.C7.B8.B9.D10.C11.812.20813.2514.2√615.28016.5√317.200(√3+1)18.13019.30∘20.9√3+921.解：设每层楼高为x米，由题意得：𝑀𝐶′=𝑀𝐶−𝐶𝐶′=2.5−1.5=1米，∴𝐷𝐶′=5𝑥+1，𝐸𝐶′=4𝑥+1，在𝑅𝑡△𝐷𝐶′𝐴′中，∠𝐷𝐴′𝐶′=60∘，∴𝐶′𝐴′=𝐷𝐶′tan60∘=√33(5𝑥+1)，在𝑅𝑡△𝐸𝐶′𝐵′中，∠𝐸𝐵′𝐶′=30∘，∴𝐶′𝐵′=𝐸𝐶′tan30∘=√3(4𝑥+1)，∵𝐴′𝐵′=𝐶′𝐵′−𝐶′𝐴′=𝐴𝐵，∴√3(4𝑥+1)−√33(5𝑥+1)=14，解得：𝑥≈3.17，则居民楼高为5×3.17+2.5≈18.4米．22.解：如图，作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐻⊥水平线，由题意得：∠𝐴𝐶𝐻=75∘，∠𝐵𝐶𝐻=30∘，𝐴𝐵//𝐶𝐻，∴∠𝐴𝐵𝐶=30∘，∠𝐴𝐶𝐵=45∘，∵𝐴𝐵=32𝑚，∴𝐴𝐷=𝐶𝐷=16𝑚，𝐵𝐷=𝐴𝐵⋅cos30∘=16√3𝑚，∴𝐵𝐶=𝐶𝐷+𝐵𝐷=(16√3+16)𝑚，则𝐵𝐻=𝐵𝐶⋅sin30∘=(8√3+𝟖)𝒎．23.解：(𝟏)过点C作𝑪𝑬⊥𝑩𝑫，则有∠𝑫𝑪𝑬=𝟏𝟖∘，∠𝑩𝑪𝑬=𝟐𝟎∘，∴∠𝑩𝑪𝑫=∠𝑫𝑪𝑬+∠𝑩𝑪𝑬=𝟏𝟖∘+𝟐𝟎∘=𝟑𝟖∘；(𝟐)由题意得：𝑪𝑬=𝑨𝑩=𝟑𝟎𝒎，在𝑹𝒕△𝑪𝑩𝑬中，𝑩𝑬=𝑪𝑬⋅𝐭𝐚𝐧𝟐𝟎∘≈𝟏𝟎.𝟖𝟎𝒎，在𝑹𝒕△𝑪𝑫𝑬中，𝑫𝑬=𝑪𝑫⋅𝐭𝐚𝐧𝟏𝟖∘≈𝟗.𝟔𝟎𝒎，∴教学楼的高𝑩𝑫=𝑩𝑬+𝑫𝑬=𝟏𝟎.𝟖𝟎+𝟗.𝟔𝟎≈𝟐𝟎.𝟒𝒎，则教学楼的高约为𝟐𝟎.𝟒𝒎．24.解：(𝟏)在𝑹𝒕△𝑫𝑪𝑬中，𝑫𝑪=𝟒米，∠𝑫𝑪𝑬=𝟑𝟎∘，∠𝑫𝑬𝑪=𝟗𝟎∘，∴𝑫𝑬=𝟏𝟐𝑫𝑪=𝟐米；第6页，共12页(𝟐)过D作𝑫𝑭⊥𝑨𝑩，交AB于点F，∵∠𝑩𝐹𝑫=𝟗𝟎∘，∠𝑩𝑫𝑭=𝟒𝟓∘，∴∠𝑩𝑭𝑫=𝟒𝟓∘，即△𝑩𝑭𝑫为等腰直角三角形，设𝑩𝑭=𝑫𝑭=𝒙米，∵四边形DEAF为矩形，∴𝑨𝑭=𝑫𝑬=𝟐米，即𝑨𝑩=(𝒙+𝟐)米，在𝑹𝒕△𝑨𝑩𝑪中，∠𝑨𝑩𝑪=𝟑𝟎∘，∴𝑩𝑪=𝑨𝑩𝐜𝐨𝐬𝟑𝟎∘=𝒙+𝟐√𝟑𝟐=𝟐𝒙+𝟒√𝟑=√𝟑(𝟐𝒙+𝟒)𝟑米，𝑩𝑫=√𝟐𝑩𝑭=√𝟐𝒙米，𝑫𝑪=𝟒米，∵∠𝑫𝑪𝑬=𝟑𝟎∘，∠𝑨𝑪𝑩=𝟔𝟎∘，∴∠𝑫𝑪𝑩=𝟗𝟎∘，在𝑹𝒕△𝑩𝑪𝑫中，根据勾股定理得：𝟐𝒙𝟐=(𝟐𝒙+𝟒)𝟐𝟑+𝟏𝟔，解得：𝒙=𝟒+𝟒√𝟑，则𝑨𝑩=(𝟔+𝟒√𝟑)米．25.解：如图，过点D作𝑫𝑭⊥𝑨𝑩于点F，过点C作𝑪𝑯⊥𝑫𝑭于点H．则𝑫𝑬=𝑩𝑭=𝑪𝑯=𝟏𝟎𝒎，在直角△𝑨𝑫𝑭中，∵𝑨𝑭=𝟖𝟎𝒎−𝟏𝟎𝒎=𝟕𝟎𝒎，∠𝑨𝑫𝑭=𝟒𝟓∘，∴𝑫𝑭=𝑨𝑭=𝟕𝟎𝒎．在直角△𝑪𝑫𝑬中，∵𝑫𝑬=𝟏𝟎𝒎，∠𝑫𝑪𝑬=𝟑𝟎∘，∴𝑪𝑬=𝑫𝑬𝐭𝐚𝐧𝟑𝟎∘=𝟏𝟎√𝟑𝟑=𝟏𝟎√𝟑(𝒎)，∴𝑩𝑪=𝑩𝑬−𝑪𝑬=𝟕𝟎−𝟏𝟎√𝟑≈𝟕𝟎−𝟏𝟕.𝟑𝟐≈𝟓𝟐.𝟕(𝒎)．答：障碍物B，C两点间的距离约为𝟓𝟐.𝟕𝒎．26.解：设𝑷𝑸=𝒙米，在直角△𝑷𝑨𝑸中，𝐭𝐚𝐧∠𝑷𝑨𝑸=𝒙𝑨𝑸，∴𝑨𝑸=𝒙𝐭𝐚𝐧𝟒𝟓∘=𝒙，在直角△𝑷𝑩𝑸中，𝐭𝐚𝐧∠𝑷𝑩𝑸=𝒙𝑩𝑸，∴𝑩𝑸=𝒙𝐭𝐚𝐧𝟑𝟎∘=√𝟑𝒙，∵𝑨𝑩=𝟏𝟎𝟎米，∴𝒙+√𝟑𝒙=𝟏𝟎𝟎