学而思2013年春季素质123班难题汇总(共15讲)

第1页/共114页学而思2013年春季素质123班难题汇总第一讲勾股定理题型一：2a+2b＝2c，小学阶段看到平方要想到:正方形面积、平方差公式。题型二：毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯树。题型三：立体图形的勾股。题型四：折纸。两步解法：设一个未知数、利用平方差求解。题型五：圆中的勾股，寻找由弦的端点、弦的中点、圆心构成的直角△。11、【第二单元，折纸，补充题】将B点折到AD边上的E点，E是五等分点，AE＝1，求三角形BCF的面积。【难度级别】★★★☆☆【解题思路】此题充分体现了“设一个未知数、利用平方差求解”的良好解题思路。AE＝1，DE＝4，AD＝5，BC＝5，EC＝5。在直角三角形EDC中，DE＝4，EC＝5，所以DC＝3。设FB＝x，则在直角三角形AEF中，EF＝x，AF＝3-x，21+2)3(x＝2x，2x-2)3(x＝1，应用平方差公式，3(2x-3)＝1，x＝35。三角形BCF的面积：21×35×5＝625。【答案】625。12、【第三单元3.天圆地方】在如下图的圆中，正方形ABCD的边长为8，圆心O到AB的距离为5，求正方形EFGH的面积。ADCBEF第2页/共114页【难度级别】★★★★★【解题思路】看到圆，找弦，找直角三角形。设HG＝2x，圆的半径为R。看弦HG，找直角三角形ONH，HN＝x，NO＝2x-5,2x+2)52(x＝2R。如果能求出2R就可以求出x。再看弦DC，找直角三角形OMD，OM＝5+8＝13，DM＝4，2R＝213+24＝185。所以，2x+2)52(x＝185。到此，这个方程小学生不会解，可以尝试，也可以通过枚举进行筛选。1～13的平方分别是：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169，从中找出2个相加＝185的，有：16+169、64+121。对于16+169，x＝4，2x-5＝3不满足，对于64+121，x＝8，2x-5＝11满足。因此，x＝8。正方形EFGH的面积：2)2(x＝216＝256。【答案】256。13、【学案3】下图是一个长为16，宽为10的长方形，沿着图中虚线的位置将这个长方形折叠成一个等腰梯形，则这个梯形的面积是_______。【难度级别】★★★☆☆【解题思路】正下方的一个直角三角形，斜边是10，底边的直角边是8，所以另一条直角边是6。设梯形的上底为2x，看正上方的一个直角三角形，一条直角边是x，另一条直角边是：10－6＝4，斜边是8-x，所以：NMDCEFOHGBA1610第3页/共114页2x+24＝2)8(x，利用平方差公式求解，2)8(x-2x＝24，8(8-2x)=16，x＝3。梯形的面积：(6+16)×10÷2＝110。【答案】110。14、【学案1】如图所示，直角三角形PQR的直角边为5厘米和9厘米，问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？【难度级别】★★★★★【解题思路】将斜的大正方形做弦图分割。图中所有三角形面积均相等，那么图中3个正方形与4个三角形的面积之差为X、Y、Z三个正方形的面积和：25+29+2)59(＝1222cm。【答案】1222cm。15、【每日一题2】如图，直角三角形ABC中，两直角边长分别为7、24，三角形内一点P到各边的距离相等，则这个距离是_______。【难度级别】★★★★☆【解题思路】设P到各边的距离为X，则由连接的两条虚线的对称性得到,直接三角形的斜边为：(7-X)+(24-X)＝31-2X。27+224＝49+576＝625＝225，所以斜边边长为25。31-2X＝25，X＝3。【答案】3。ZYX95x24-x7-x24-x7-xxxxx第4页/共114页16、【每日一题3】直角三角形一直角边为11，另两边均为自然数，则其周长为_______。【难度级别】★★★★★【解题思路】设斜边为c，另一直角边为a，则2c-2a＝211。(c+a)(c-a)＝121，121只有两种分解：121×1、11×11，因c+a≠c-a，所以只有：c+a＝121，c-a＝1，解得：c＝61，a＝60。三角形周长为：11+60+61＝132。【答案】132。第5页/共114页第二讲完全平方数判断方法：①尾数判断法，平方数的尾数只能是：0、1、4、5、6、9。②偶指奇约性。③不等式判断法。例如：244=1936＜1976＜2025=245，所以1976不是完全平方数。④余数判断法(1)2A÷3余0、1（由A÷3余0、1、2来证明）(2)2A÷4余0、1(3)2A÷8余0、1、4(4)2A÷16余0、1、4、9例如：P为大于3的质数，2P÷24余多少？24＝3×8。平方数÷3只能余0和1，而余0表示能整除3，P为大于3的质数，P不能整除3，所以2P÷3余1。平方数÷8只能余0、1、4，P为大于3的质数，P是奇数，2P也是奇数，奇数÷8只能余奇数，所以2P÷8余1。1×1＝1，2P÷24余1。特别说明：判断一个数“是”完全平方数只有“偶指奇约性”这个方法（或者开方），其它方法（尾数判断法、不等式判断法、余数判断法）都是用来判断“不是”完全平方数的。21、【一单元(例4)】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是五次方数。【难度级别】★★★☆☆【解题思路】求最小，A至少有2、3、5三个质因数，设A＝x2y3z5，则2A＝12xy3z5，3A＝x213yz5，5A＝x2y315z第6页/共114页由2|(x+1)，3|x，5|x得到：minx＝15；由2|y，3|(y+1)，5|y得到：miny＝20；由2|z，3|z，5|(z+1)得到：minz＝24。最小自然数：A＝152203245。【答案】152203245。22、【一单元(例5)】（口述题）从乘法算式1×2×3×…×15中至少要删除多少个数，才能使剩下的数的乘积为完全平方数？【难度级别】★★★★☆【解题思路】删除无法配对的质数。首先，质数13、11无法配对，再考虑质数7、5、3、2。[1315]＝1，质因数13是1次方；[1115]＝1，质因数11是1次方；[715]＝2，质因数7是2次方；[515]＝3，质因数5是3次方；[315]＝5，[35]＝1，质因数3是5+1＝6次方；[215]＝7，[27]＝3，[23]＝1，质因数2是7+3+1＝11次方；删除奇数次方的，2×5×11×13＝10×11×13，删除10、11、13这3个数。【答案】3。23、【一单元(例6)】从1!、2!、3!、…、100!这100个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数，请问：被去掉的那个数是什么？【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】变形，看指数的奇偶性。A＝1!×2!×3!×…×100!＝1001×992×983×…×1100第7页/共114页指数为偶数的保留，指数为奇数的各提取出来一个底：2×4×6×…×100＝(2×1)×(2×2)×(2×3)×…×(2×50)＝(2×2×2×…×2)×(1×2×3×…×50)＝502×50!502是完全平方数，所以去掉50!这个数。【答案】50!。24、【二单元(例3)】100名同学，编号为1～100，面向南站成一排，第1次全体同学向后转；第2次编号为2的倍数的同学向后转；第3次编号为3的倍数的同学向后转；……；第100次编号为100的倍数的同学向后转；这时，面向南的同学有______名？【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】转偶数次朝南，转奇数次朝北。编号有多少个约数，此同学就转多少次。平方数有“奇约性”，平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数。100＝210，10个有奇数个约数，100－10＝90个有偶数个约数，所以面向南的有90人。【答案】90。25、【二单元(例4)】100名同学，编号为1～100，面向南站成一排，第1次全体同学向右转；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第100次编号为100的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有______名？【难度级别】★★★☆☆【解题思路】朝向与转的次数相关，转的次数与约数个数相关。第8页/共114页平方数有奇数个约数，奇数个约数面朝东或朝西，转4次一圈，约数个数÷4余1面朝西，约数个数÷4余3面朝东。100＝210，有10个平方数。2A212223242526272829210约数个数1335393759约数个数÷4余1331313311面朝东√√√√√【答案】5。26、【三单元(例3)】(1)形如11…1(n＞1，n个1)的完全平方数有______个；(2)形如1444…4(n＞1，n个4)的完全平方数有______个；【难度级别】★★★☆☆【解题思路】余数判断法，第(1)题用÷4的余数，第(2)题用÷16的余数。(1)11÷4余3，111÷4余3，后面每再增加1个1，和前面的余数3可以构成31，31÷4＝7…3，÷4都余3。但是，完全平方数÷4的余数不能是3（只能是：0、1），所以，形如11…1的数都不是完全平方数。(2)2个4：144＝212，3个4：1444＝238。4个及4个以上的4：14444÷16余12，后面每再增加1个4，和前面的余数12可以构成124，124÷16＝7…12，所以4个以上4时，÷16余数都是12，余数尾数都是2。但是，完全平方数÷16的余数尾数不能是2（只能是0、1、4、9），4的个数大于3个时就没有完全平方数了。所以，形如1444…4的完全平方数有2个：144＝212，1444＝238。【答案】0，2。第9页/共114页27、【三单元(例5)】m3+n3+1（m、n为自然数）能否为平方数？【难度级别】★★★★☆【解题思路】用余数判断法，÷8的余数来判断。3的偶数次方：k23＝k9，9÷8余1，若干个1相乘还是1，k23÷8余1；3的奇数次方：123k＝k9×3，9÷8余1，123k÷8余3。根据m、n的奇偶性，有4种组合情况：①m奇n奇，m3÷8余3，n3÷8余3，(m3+n3+1)÷8余7；②m奇n偶，m3÷8余3，n3÷8余1，(m3+n3+1)÷8余5；③m偶n奇，m3÷8余1，n3÷8余3，(m3+n3+1)÷8余5；④m偶n偶，m3÷8余1，n3÷8余1，(m3+n3+1)÷8余3。(m3+n3+1)÷8的余数是3、5或7，但是，完全平方数÷8的余数是0、1、4，所以m3+n3+1不是完全平方数。【答案】不能。28、【学案1】称能表示成1+2+3+…+k的形式的自然数为三角数。有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数，则N＝______。【难度级别】★★★★★【解题思路】题目较难，慢慢消化。1+2+3+…+k＝2a，k(k+1)÷2＝2a。因为k和k+1是两个连续的自然数必有一个奇数，所以有：奇数×2相邻偶数＝2a。相邻自然数互质，“奇数”与“2相邻偶数”也互质，于是：“奇数”＝2m，“2相邻偶数”＝2n，a＝m×n。第10页/共114页到这里，没有更好的办法了，只能从“N＝2a是一个四位数”入手，缩小取值范围。32≤N≤99，即：32≤m×n≤99。又因为2m与22n差1（相邻），有：7≤m≤12（得出这个范围有点难度，我最后采用估算的方法：2m≈22n，m≈1.4n，n≈m÷1.4，32×1.4≤2m≤99×1.4，45≤2m≤140，7≤m≤12）。当m＝7时，2m＝49，2n＝25，2a＝2m2n＝2)57(＝235＝1225；当m＝9时，2m＝81，相邻偶数为80和82，2偶数不是平方数，无解；当m＝11时，2m＝121，相邻偶数为120和122，2偶数不是平方数，无解。所以，N＝1225。【答案】1225。29、【学案3】有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是多少？【难度级别】★★★☆☆【解题思路】正确理解“两个平方数的末两位数相同”，意思就是“两个平方数的差末两位是00”。设两个两位数是n和n+14，则100|2)