因式分解经典竞赛题集

初中数学的深化1：因式分解1、因式分解的新公式：形如“22axbxycydxeyf+++++”的双十字相乘3322()()ababaabb+=+−+3322()()ababaabb−=−++3332223()()abcabcabcabcabbcca++−=++++−−−2222222()abcabbccaabc+++++=++经典例题：○1EA分解因式：2231092xxyyxy−−++−A○2EA分解因式：333(1)(2)(32)xxx−+−+−A○3EA若a、b、c满足2229abc++=，那么代数式222()()()abbcca−+−+−的最大值是多少？（注：三项的配方）○4EA已知a是方程xP2P－5x＋1＝0的一个根，则44−+aa的个位数字为__________○5EA已知31a=−，则20122011201022aaa+−的值为_____________○6EA若248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)A=+++++++，则2002A−的末位数字是__○7EA已知31=+xx，则=+++10551011xxxx_________练一练：○1EA已知2254210xxyyx−+−+=，求2014()xy−的值。○2EA分解因式：22xyyxy++−−A○3EA分解因式：(1)(2)(3)(4)24xxxx++++−A○4EA已知13xx+=，则432316317xxxx+−+−=__________○5EA已知n是正整数，且4216100nn−+使质数，求n的值.○6EA设a＜b＜0，aP2P+bP2P=4ab，则baba−+的值为__________○7EA已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式aP2P+bP2P+cP2P-ab-bc-ca的值为___________A○8EA设抛物线()452122++++=axaxy的图像与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求618323−+aa的值。○9EA方程组=+=−++2621133yxyx的解是2、一元二次方程的深化。韦达定理的两层含义：实数根存在，即0∆≥；实数根与一元二次方程系数的关系。有实数根的“逆运用”：0∆≥则一元二次方程必有实数根，有实数根则必有0∆≥。经典例题：○1EA已知xR1R，xR2R是关于x的一元二次方程22(31)210xaxa+−+−=的两个实数根，使得1212(3)(3)80xxxx−−=−成立．求实数a的所有可能值．○2EA满足方程()()33222=−+++yxyx的所有实数对()yx，为__________.○3EA整数qp，满足2010=+qp，且关于x的一元二次方程0672=++qpxx的两个根均为正整数，则=p________.○4EA如果关于x的方程2230xaxa−+−=至少有一个正根，求实数a的取值范围。方程222334xxyy++=的整数解(,)xy的组数为___________3、绝对值的含义（数形结合）。绝对值代表数轴上的某数到原点的距离，则1x−代表数轴上的数到“1”这个点的距离。经典例题：若不等式2133xxa−+−≤有解，则实数a的最小值是（）A．1B．2C．4D．6竞赛辅导资料一因式分解1．运用公式法即为因式分解中常用的公式，(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)an－bn=(a－b)(an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1)其中n为正整数；(8)an－bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…+abn－2－bn－1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…－abn－2+bn－1)，其中n为奇数．例1分解因式：(1)－2x5n+1yn+4x3n+1yn+2－2xn+1yn+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例2分解因式：a3+b3+c3－3abc．解原式=(a+b)3－3ab(a+b)+c3－3abc=［(a+b)3+c3］－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－c(a+b)+c2]－3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3－3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3－3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an－bn来分解．解因为x16－1=(x－1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4分解因式：x3－9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1将常数项8拆成－1+9．原式=x3－9x－1+9=(x3－1)－9x+9=(x－1)(x2+x+1)－9(x－1)=(x－1)(x2+x－8)．解法2将一次项－9x拆成－x－8x．原式=x3－x－8x+8=(x3－x)+(－8x+8)=x(x+1)(x－1)－8(x－1)=(x－1)(x2+x－8)．解法3将三次项x3拆成9x3－8x3．原式=9x3－8x3－9x+8=(9x3－9x)+(－8x3+8)=9x(x+1)(x－1)－8(x－1)(x2+x+1)=(x－1)(x2+x－8)．解法4添加两项－x2+x2．原式=x3－9x+8=x3－x2+x2－9x+8=x2(x－1)+(x－8)(x－1)=(x－1)(x2+x－8)．例5分解因式：(1)x9+x6+x3－3；(2)(m2－1)(n2－1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2－1)2+(x－1)4；(4)a3b－ab3+a2+b2+1．课内练习1.若a+b=3,a2b+ab2=－30,则a3+b3的值是（）（A）117（B）133（C）－90（D）1432.已知1992,1994,1996=−==cba，那么)()()(baabaccacbbc+−−++等于_____________3.把代数式2)1()2)(2(−+−+−+xyyxxyyx分解成因式的乘积，应当是。4.12)12)(12)(12)(12)(12(3216842−+++++5．分解因式145++aa3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例2分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．例3分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例4分解因式：6x4+7x3－36x2－7x+6．解法1原式=6(x4+1)＋7x(x2－1)－36x2=6［(x4－2x2+1)+2x2］+7x(x2－1)－36x2=6[(x2－1)2+2x2]+7x(x2－1)－36x2=6(x2－1)2+7x(x2－1)－24x2=[2(x2－1)－3x］［3(x2－1)+8x]=(2x2－3x－2)(3x2+8x－3)=(2x+1)(x－2)(3x－1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2－1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t－36]=x2(6t2+7t－24)=x2(2t－3)(3t+8)=x2[2(x－1/x)－3][3(x－1/x)+8]=(2x2－3x－2)(3x2+8x－3)=(2x+1)(x－2)(3x－1)(x+3)．例5分解因式：(x2+xy+y2)－4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2－xy]2－4xy[(x+y)2－2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2－v)2－4v(u2－2v)=u4－6u2v+9v2=(u2－3v)2=(x2+2xy+y2－3xy)2=(x2－xy+y2)2．4．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2－7xy－22y2－5x+35y－3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2－(5+7y)x－(22y2－35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即－22y2+35y－3=(2y－3)(－11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y－3)］［2x+(－11y+1)］=(x+2y－3)(2x－11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x－11y)=2x2－7xy－22y2；(x－3)(2x+1)=2x2－5x－3；(2y－3)(－11y+1)=－22y2+35y－3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例6分解因式：(1)x2－3xy－10y2+x+9y－2；(2)x2－y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x－y－2；(4)6x2－7xy－3y2－xz+7yz－2z2．解(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y－2)．(4)原式=(2x－3y+z)(3x+y－2z)．说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．1.当m=__________时，二元二次六项式15174622−+−−+yxymxyx可以分解为两个关于x,y的二元一次三项式的乘积。2.分解因式：24)4)(3)(2)(1(−++++xxxx3.分解因式：nnxxxx−++++22)1(4.分解因式：)1(