求函数值域方法及习题

求函数值域的方法（1）直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R，当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}；当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}（2）配方法：如果y=f(x)是二次函数或是可以化为二次函数的函数，则可以用配方法求值域.【例1】求下列函数的值域：（1）y=x2-4x+5；（2）y=x2-4x+5，x∈[1,4]；(3)y=x2+2x+4,x∈[0,+∞)（4）y=-x4+2x2+3；（5）y=221224xxxx；(6)y=4x+2x+1（7）y=2229(log)log4xx；（8）y=sin2x-sinx+94新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（3）基本不等式法：利用平均不等式求值域转化成型如：)0(kxkxy，用公式来求值域；【例2】求下列函数的值域：（1）y=1xx,（x0）；（2）y=41xx,（x≠0）；（3）y=9xx,（0＜x≤2)；（4）y=x(6-x)；（5）y=212(4)4xxx,（4）不等式性质法【例3】求下列函数的值域：（1）y=262x；（2）y=22241022xxxx；（3）y=62sin1x（4）y=10-216x；（2）y=13()4(1)2xx；（3）y=2211log()()42xx（5）逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：),(,nmxdcxbaxy或将求函数的值域转化为求它的反函数的值域.【例4】求下列函数的值域：（1）y=11xxee；（2）y=2sin3sinxx；（3）y=222xx；（法一）反函数法：（法二）分离变量法：（6）函数单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域.【例5】求下列函数的值域：（1）y=x3+arcsinx；（2）y=1xxaa(正常数a≠1,x≥1)；（3）y=412log(1)x；（4）y=241()3xx（7）换元法（代数换元法）：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；【例6】（1）41yxx；（2）21yxx【解】（1）设10tx，则21xt，∴原函数可化为2214(2)5(0)ytttt，∴5y，∴原函数值域为(,5]．说明：总结yaxbcxd型值域，变形：22yaxbcxd或2yaxbcxd（2）三角换元法：∵21011xx，∴设cos,[0,]x，则cossin2sin()4y∵[0,]，∴5[,]444，∴2sin()[,1]42，∴2sin()[1,2]4，∴原函数的值域为[1,2]．（8）几何法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域；图像法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域【例7】（1）已知224xy，求函数u=3x+4y的值域；（2）（3）对于圆x2+(y-1)2=1上任一点P（x，y），不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围；（4）求函数|1||4|yxx的值域.解：（2）设，则yxkykx.问题转化为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1有公共点时，y1O2x斜率的取值范围问题。现在只要求出k的最大和最小值即可。kk大小，3333k3333，（3）xyPxy2211102()cossin上任一点可写成，代入得xym010sincosm，mmsincossin()124124121sin()的最大值为。mxym210时，不等式恒成立。（4）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)xxyxxxxx，∴5y，∴函数值域为[5,)．（9）最值法：【例7】求下列函数的值域：拓展【例1】求函数f(x)=2,(0,1]1axxax的值域：【例2】求函数f(x)=21axbx的值域是[-1，9]，求实数a、b值.Ⅲ.小结1．熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用；2．求值域时要务必注意定义域的制约；3．含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论；4．用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。5．对于二次函数)0()(2acbxaxxf,⑴若定义域为R时，①当a0时，则当abx2时，其最小值abacy4)4(2min；②当a0时，则当abx2时，其最大值abacy4)4(2max⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]①若0x[a,b],则)(0xf是函数的最小值（a0）时或最大值（a0）时，再比较)(),(bfaf的大小决定函数的最大（小）值②若0x[a,b],则[a,b]是在)(xf的单调区间内，只需比较)(),(bfaf的大小即可决定函数的最大（小）值(3)若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；(4)当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论Ⅳ.巩固练习夯实基础【题组一】1．函数y=231xx的值域是；新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2112.求函数，在，上的最大及最小值。yxx3．函数y=63cos1x的值域是；4．函数y=24x+1的值域是；5．函数y=22221(log)log3([,4])2xxx的值域是；6．函数y=221()3xx的值域是7．已知：点P（x，y）是圆x2+y2=9上的动点。求x+y的最大值。8．函数265yxx的值域是[0,2]9．函数221xxy的值域为(0,1)．10若函数()logafxx在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a222或．11．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域（11.解法1：将函数化为分段函数形式：)2(12)21(3)1(12xxxxxy，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y|y3}解法2：（几何法或图象法）∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+]如图）12．求函数xxy142的值域解：(换元法)设xt1则t0x=12t代入得tttfy4)1(2)(24)1(224222ttt∵t0∴y4新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆O12-1xO12-1xO12-1x2-13xOy13．某宾馆有相同标准的床位100张根据经验，当该宾馆每张床的床价不超过10元时，床位可以全部租出；当床价高于10元时，每提高一元，将有3张床位空闲为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条件是①为方便结算，床位应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租收入必须高于支出，而且高出得越多越好，若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的支出费用后的收入），(1)把y表示为x的函数，并求出定义域；(2)试确定该宾馆床价定为多少时，既符合上述条件，又能使净收入最多？2．(1)100575(10)[100(10)3]57510xxyxxx=2100575(610,)3130575(1038,xxxNxxxxN(2)当x10时，y425;当x10,则当x=22时，y有最大值约833元【题组二】1．若函数y=x23x4的定义域为[0,m],值域为[25/4,4],则m的取值范围是[3/2,3]3．求下列函数的值域(1)y=(1x2)/(1+x2);(2)y=(12sinx)/(1+sinx)(1)(0,1);(2)[1/2,+]4．已知1/2t1,则2/t–t的最大值是7/2(单调性求最值)5．函数y=–x2–2ax(0x1)的最大值是a2,那么实数a的取值范围是–1a0(配方法求二次函数的最值)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆6．在区间[1/2,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+1/x2在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在区间[1/2,2]上的最大值是4，平均值不等式求最值7．函数xya在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a28．