平口单峰函数

学习数学，领悟数学，秒杀数学。关于平口单峰函数（绝对值）的一些秒杀方案一．平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a，一切bc，这些系数与二次函数的形状没有任何影响.在初中的课本中提到的()22yaxyaxhk平移变换==-+，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当()[]2fxxbxcxpq，，=++Î时，()fxc£，求c最小值问题.由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围.图1图2图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高n，相对应的角叫蝶角，定义tannma=，可以得出以下定理：①tanma=，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；②以对称轴为中心，每增加m的蝶宽，相对应的蝶高比为21:4:9::n，增加的蝶高n比为1:3:5::21n-；③如图2，处于同一单调区间时，最大值M和最小值m的差值()gxMm=-在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，()gxMm=-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点22bpq+-=时，()()()min22bbgxMmfqffpf=-=--=--；综上，如图3，当0Mm+=，()fxc£时，c取得最小值，此时2pqmf+=，()()Mfpfq==.例1：在()2fxxpxq=++中，找出使得2max11xpxqx，++-取得最小值时的函数表达式为解：根据平口二次函数定理可知当仅当0Mm+=时，2max,11xpxqx++-能取得最小值，此时()()11Mff==-110pqpqp\++=-+Þ=；又()0mfq==，1102Mmqqq+=++=Þ=-；()[]21,1,12fxxx\=-Î-.例2：设函数()2fxxaxb=++，对于任意的实数,ab，总存在[]00,4xÎ，使得()0fxt³成立，则实数t的取值范围是。解：根据题意，需要找到()max,04fxx，不妨设()[]2,0,4gxxaxbx=++Î，()max,gxM=()mingxm=，根据平口二次函数定理：当()()04Mgg==242aaÞ-=Þ=-；且()2424mgabb==++=-，又由于+0Mm=，故402bbb+-=Þ=，()max2fx=，综上，当2t£时，总存在[]00,4xÎ，使得()0fxt³成立.总结：平口函数就是在区间的左右端点同时取最大值（最小值）的一类函数总称.平口二次函数由于其特殊的对称性，能在区间的算数平均数中点取到另一个最值.学习数学，领悟数学，秒杀数学。二．平口对勾函数问题对勾函数涉及极值偏移，算数平均数的中点的值不代表最值，()[],,afxxbxpqx=++Î时，()fxc£，求c最小值问题，根据平口二次函数的推论，可以知道是()()fpfq=，如图4，求出参数a以后再根据()()0fpfa+=确定参数b；定理：当仅当apq=时，对勾函数在区间[],pq才能构成平口对勾函数，()fx去最小值时取到了[],pq的几何平均数中点.图4例3：（2018台州期末）已知()1fxxaxbx=+--，当1,22xÎ时，设()fx的最大值为(),Mab，则(),Mab最小值为解：(),Mab为最小时，函数一定为平口函数，构造()11,,22gxxaxbxx=+--Î，根据平口函数性质可得：()122gg=0aÞ=，又因为()()91204ggb+=Þ=，\(),Mab最小值为()114g=.例4：（2018青浦区二模）设函数()2fxaxbx=--，对于任意的实数,ab，总存在[]01,2xÎ，使得()0fxm³成立，则实数m的取值范围是。解：由()0fxm³，可知()fx为平口函数，构造()2gxaxbx=--，一定有()()12gg=，则1a=-，又因为当2x=时，()gx取得最小值，()()3221202ggb++=Þ=，()()max32212gxgm-\==³.三．平口三次函数问题三次函数涉及到双峰问题，我们需要在给定的定义域内构造出单峰三次函数（即部分图像，通常是极大值到极大值等值点这一段），如下图，若12x，，我们可在此区间构造单峰函数.学习数学，领悟数学，秒杀数学。【例5】（2019•武汉调研）：已知函数3fxxaxb的定义域为[1,2]，记fx的最大值为M，则M的最小值为（）A.4B.3C.2D.3解：构造平口单峰333fxxxaxb，不难发现33yxx在[1,2]x为平口单峰，且极值点01x，根据秒杀秘籍得M的最小值为()()()022222fpfx---==，故答案选C.秒杀秘籍：关于平口函数的万能招数所有的平口函数()yfx=一定满足一个共性：出现求()maxminfx，[],xpqÎ时，一定为平口函数，若()yfx=有一个极值点，也叫平口单峰函数，若()maxfxM=，()minfxm=，()()0fpfqMmì=ïíï+=î此为平口单峰函数的万能招数.既然如此，再来几道题，都可以直接秒杀了.建议大家边写题边拍一下参考答案给的解法，对比一下，这种类型题能减少讨论是最好的.例6：（2018呼和浩特期中）设函数(),,,fxxaxbabR=--Î若对于任意的实数,ab总存在实数[]00,4xÎ，使得()0fxm³成立，则实数m的取值范围为。解：令[],0,2xtt=Î，()2,,,fttatbabR=--Î，令()2,,,gttatbabR=--Î一看是平口二次函数模型，直接上秒杀()()()()102210104aggggbì=ïì=Þ+=î=ïî，故()2maxmax111244ftttm=--=³.例7：（2018秋杭州期中）已知()lnfxxaxb=--，对于任意的0a，bRÎ，都存在[]01,xmÎ使得()01fx³成立，则实数m的取值范围为.解：minmaxln1xaxb--³，()10fxax¢=-，故()fx为单调增函数，无峰最值只能在两端，根据平口函数理论()()()212ln12ln2fmfmammme---，注意，没有峰的函数，一定用()()2fqfpc-³，这个方法百试不爽.例8：求()[]minmaxln101xaxbxabR，，、+++；解：令()()ln1fxxaxb=+++，无峰不最值，当()()01ln2ffa=Þ=-，此时()1ln21fxx¢=-+，当11ln2x=-时()0fx¢=，()()lnln2ln211100ln22ffb-+-+=Þ=，故()()minlnln2ln21maxln12xaxb-++++=.学习数学，领悟数学，秒杀数学。下面给出一个平口单峰函数的解答题证明过程：若函数()fx在区间[],pq为连续的单峰函数，且()()fpfq=，此函数为平口单峰函数，0x为其极值点.秒杀秘籍:()()maxgxfxaxb=++的最小值为()()02fpfx-，当仅当0a=，()()02fpfxb+=-时取得.证明：若0a¹时，如图5，图6，则端点值的增量为()apq-，而极值点的增量为()0axp-或者()0axq-，由于{}00max,pqxpxq---故()()()minminmaxmaxgxfxaxbfxb=+++，故不符合题意，即0a=图5图6例9：（2018•台州月考）：已知函数1fxxaxbx，当122x，时，设fx的最大值为Mab，，则Mab，的最小值是（）A.2B.12C.4D.14解：因为1xx在122x，为“平口单峰函数”，且极值点01x，根据秒杀秘籍得Mab，的最小值为()()012212224fpfx+--==.欢迎指正!学习数学，领悟数学，秒杀数学。