概率论与数理统计第六章测试题

1第6章参数估计选择题1．设nXXX,...,,21是来自正态总体X的简单随机样本，X的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则（A）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同(B)用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同（C）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同(D)用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的2．设nXXX,...,,21是来自正态总体X的简单随机样本，EX=μ，DX=σ2，其中μ，σ2均为未知参数，X1ˆ，12ˆX，下面结论哪个是错误的。（A）X1ˆ是μ的无偏估计(B)12ˆX是μ的无偏估计（C）X1ˆ比12ˆX有效(D)niiXn12)(1是σ2的最大似然估计量3．设nXXX,...,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2)的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ2的最大似然估计量是（A）niiXXn12)(11(B)niiXXn12)(1（C）niiXn12)(11(D)niiXn12)(14．已知总体X在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设nXXX,...,,21是来自X的简单随机样本，X是样本均值，},...,max{1)(nnXXX是最大观测值，则下列选项错误的是（A）)(nX是θ的最大似然估计量(B))(nX是θ的无偏估计量（C）X2是θ的矩估计量(D)X2是θ的无偏估计量5．设总体X~N(μ1,σ2)，总体Y~N(μ2,σ2)，mXXX,...,,21和nYYY,...,,21分别是来自总体X和Y的简单随机样本，样本方差分别为2XS与2YS，则σ2的无偏估计量是（A）22YXSS(B)22)1()1(YXSnSm2（C）222nmSSYX(D)2)1()1(22nmSnSmYX6．设X是从总体X中取出的简单随机样本nXXX,...,,21的样本均值，则X是μ的矩估计，如果（A）X~N(μ,σ2)(B)X服从参数为μ的指数分布（C）P（X=m）=μ(1-μ)m-1，m=1,2,…(D)X服从[0,μ]上的均匀分布填空题1．假设总体X服从参数为λ的泊松分布，nXXX,...,,21是取自总体X的简单随机样本，其均值、方差分别为X，S2，如果2)32(ˆSaXa为λ的无偏估计，则a=。2．已知1ˆ、2ˆ为未知参数θ的两个无偏估计，且1ˆ与2ˆ不相关，21ˆ4ˆDD，如果213ˆˆˆba也是θ的无偏估计，且是1ˆ、2ˆ所有同类型线性组合无偏估计中有最小方差的，则a=，b=。3．设总体X的概率密度为其它，,0,10,)1()(1xxxf则θ的矩估计量为。4．设nXXX,...,,21是取自总体X的简单随机样本，且EX=μ，DX=σ2，其均值、方差分别为X，S2，则当c=时，22)(cSX是μ2的无偏估计。5．设nXXX,...,,21是取自总体X的简单随机样本，且EX=μ，DX=σ2，212)(XbXanii的数学期望等于σ2，则a=，b=。解答题1．设总体X的概率密度为其它，,0,10,)1()(xxxf其中θ-1是未知参数，X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求θ的估计量。2．设某种元件的使用寿命X的概率密度为其它，,0,,2)()(2xexfx其中θ0是未知参数，x1,x2,…,xn是来自总体X的一组样本观测值，求θ的最大似然估计量。33.设总体X的概率分布为X0123Pθ22θ(1-θ)θ21-2θ其中θ（0θ1/2）是未知参数，利用总体X的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和最大似然估计值。4．设某种元件的寿命X（单位：小时）服从双参数的指数分布，其概率密度为其它，,0,,1),;(xexfx其中θ，μ(0)为未知参数。自一批这种器件中随取n件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为nXXX,...,,21，求θ，μ的最大似然估计量。5．设总体X的概率密度为其它，,0,,);()(xexfxθ为未知参数，nXXX,...,,21为取自X的一个样本，证明：1ˆ1X，nXXn1},...,min{ˆ12是θ的两个无偏估计量，并比较哪个更有效。6．设总体X的概率密度为其它，,0,0),(6);(3xxxxfθ为未知参数，nXXX,...,,21为取自X的一个样本，（1）求θ的矩估计量ˆ；（2）求ˆ的方差ˆD；（3）讨论ˆ的无偏性。7．某人作独立重复射击，每次击中目标的概率为p，他在第X次射击时，首次击中目标。（1）试写出X的分布律；（2）以此X为总体，从中抽取简单随机样本nXXX,...,,21，试求未知参数p的矩估计量和最大似然估计量。8．设从均值为μ，方差为σ2的总体中分别抽取容量为n1，n2的两个独立样本，样本均值分别为X和Y。试证：对于任意满足条件a+b=1的常数a和b，YbXaT是μ的无偏估计量，并确定a，b，使得方差DT达到最小。4参考答案选择题1．C2．D3．C4．B5．D6．A填空题1．1/22．0.2，0.83．1/1ˆX4．1/n5．1/(n-1)，-n/(n-1)解答题1．解：（1）21)1(10dxxxEX，所以令XEX，解得θ的矩估计量XX112ˆ；（2）似然函数为,)()1();()(11niinniixxfL其对数似然函数为),ln()1ln();()(ln11niiniixnxfL考虑0ln1)(ln1niixndLd，解得niixn1ln1ˆ；于是θ的最大似然估计量为niiXn1ln1ˆ。2．解：似然函数为其它，,0,...,1,,2);()()(211nixexfLinxnniinii其它，,0,),...,min(,2)(1221nnxnxxeLnii由上面形式可得},...,min{ˆ1nxx时，似然函数达到最大值，于是θ的最大似然估计量为},...,min{ˆ1nXX。3．解：（1）43EX，所以令2xEX，解得θ的矩估计值41ˆ；（2）似然函数为,)21()1(4)21()]1(2[)(4264222L其对数似然函数为),21ln(4)1ln(2ln64ln)(lnL考虑0218126)(lndLd，解得)137(121ˆ。54．解：似然函数为其它，,0,...,1,,1),;(),(11nixexfLinxnniinii其对数似然函数为其它，,0,},...,min{,1ln),(ln11nniixxnxnL由上面形式可得},...,min{ˆ1nxx时，lnL达到最大值。同时，考虑0][1),(ln12nxnLnii，解得ˆˆx；于是θ，μ的最大似然估计量为},...,min{ˆ1nXX；},...,min{ˆ1nXXX。5．证明：1)(dxxeEXx，222)(22dxexEXx，DX=1，于是111ˆ1XEE，即1ˆ1X为θ的无偏估计量；令},...,min{1)1(nXXX，则X(1)的概率密度为其它，,0,,)()()1(xnexfxn从而ndxxneEXxn1)()1(，所以nXXn1},...,min{ˆ12也为θ的无偏估计量；又nXDD1ˆ1，22)1(2)1()1(21)(ˆnEXEXDXD，当n1时nXXn1},...,min{ˆ12比1ˆ1X更有效。6．解：（1）21)(603dxxxxEX，所以令XEX，解得θ的矩估计量X2ˆ；（2）20322103)(6dxxxxEX，222201)(EXEXDX，故2514ˆnXDD；（3）由于XEE2ˆ，即ˆ为θ的无偏估计量。7．解：（1）X的分布律为：P(X=x)=p(1-p)x-1，x=1,2,…(2)p的矩估计量：EX=1/p，令XEX，解得Xp1ˆ；p的最大似然估计量：nxnipppL)1()(，从而对数似然函数为6)1ln()(ln)(lnpnxpnpLi，令0)(lnppL，解得Xp1ˆ。8．证明：)(baYbEXaEET，从而YbXaT是μ的无偏估计量，由于是222122221222))1(()(nananbnaYDbXDaDT利用一元函数的微分法，得到其最小值点为211nnna，212nnnb。