“握手”问题的探究及应用【教学设计】

教学设计一、教学目标：1、知识技能：通过学生自主探究，互动研讨等形式多样的实践活动，形成对“握手问题”实质的理解，形成这类数学问题的知识链，掌握这类数学问题的解题关键。2、数学思考：通过猜想、游戏、画图、讨论等活动，让学生初步感知化归、类比、从特殊到一般、数形结合等数学思想方法。3、问题解决：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。初步形成评价与反思的意识。4、情感态度（1）通过“握手”问题情境的创设，对学生进行文明礼仪教育，激发学生学习兴趣和探索欲望。（2）让学生在问题解决中体验成就感，体会学习的快乐。（3）通过模型的构建过程，体验数学与生活的紧密联系，培养自主探索精神和团结协作意识。二、教学重难点：重点：：通过握手过程，探索计算方法，加深对“握手问题”实质的理解，培养学生探究能力。加深对“握手问题”实质的理解，并能应用该模型解决实际问题。难点：从实际问题中抽象、转化为握手问题进行解答。三、教学方法：情景导入法、游戏法、观察法、讨论法、探究归纳法四、教学过程：【导入激趣】我们中国是一个文明古国，礼仪之邦，朋友见面时都要互相握手，致以问候，以示友好。老师现在有一个问题：我们班假如有40名同学，如果每两个同学之间互相握手一次，那么一共握手多少次？设计意图:通过“握手”这样一个起点低，贴近学生生活，符合学生认知水平的问题情境作为课堂导入，即对学生进行了文明礼仪的教育，又一下拉近了师生之间的距离，活跃了课堂气氛，激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望，同时又过渡自然，直接进入主题。【合作探究】为了解决这一个复杂的问题，我们可以把复杂问题简单化。四人小组进行握手游戏，合作寻找握手的内在规律。思考：若4位同学两两握手共握手多少次？5位呢？6位呢？…n位呢？设计意图:通过学生自主探索，亲身体验，使学生在加深对“握手问题”实质理解的同时体验成功的快感，增强学习的兴趣。在全班每4个同学之间的互相握手实践中，也培养了学生合作学习的意识。【建立模型】两个小组的同学分别展示两种不同的握手方式握手方式1:握手方式2：其他学生认真观察思考，发现规律，并寻找出计算方法。ABCDABCDABCDABCDBADCABCDCABD老师引导：感谢刚才两组同学为我们带来的精彩握手演出。那么你们能用公式表示出n个人每两个人之间互相握手一次，一共握多少次手吗？握手总次数_______________________设计意图:通过学生自主探索，亲身体验，使学生在加深对“握手问题”实质理解的同时体验成功的快感，增强学习的兴趣。在全班每4个同学之间的互相握手实践中，也培养了学生合作学习的意识。培养学生从特殊到一般的数学思想方法和归纳概括能力。【知识迁移】（1）如图（1）所示，图中共有条线段。（2）如图（2）所示，图中共有个角。（3）如图（3）所示，图中共有个三角形。教师引导学生把以上三个问题转化为“握手问题”，并利用建立的数学模型解决问题。让学生对（1）（3）问题进行类比，（3）中数三角形其实就是数BC边有多少条线段。针对（3）数三角形，提问学生除了三角形我还初中阶段还学习过哪些图形？适当引导学生进行变式，把三角形可改为平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形，圆等图形，让学生选择自己喜欢的图形进行创造，课下小组展示交流。设计意图:通过简单问题，让学生初步掌握“握手问题”模型的应用，为后续问题的进一步拓展奠定基础。针对（3）数三角形问题的变式，是为了尊重学生的兴趣、爱OBACDEBCADEFADBC（图1）（图2）（图3）好，注重发挥学生的自主性。让学生在教师的有效指导下自主学习、自主实践、自主反思。【模型应用】与“握手问题”类似的例子在生活中也有很多，你能设计一个能用这个模型来解决的数学实际问题吗？请说出来与同学交流分享。要求如下：自我思考实例中：____相当于“握手问题”中的人；____相当于两两握手；____相当于握手次数。设计意图:让学生例举生活中类似实例，不仅考查学生对“握手问题”的理解，而且让学生感受到数学与生活息息相关，同时在与他人的交流过程中，又培养了学生团结协作的团队精神。【模型升华】已知相邻两点距离为1。你知道下图中共有多少条线段吗？已知相邻两点距离为1。你知道下图中共有多少条线段吗？已知相邻两点距离为1。下图中共有多少个长方形吗？（此处长方形包括正方形）如图是由棱长为1的正方体堆成的长方体，其长为5，宽为4，高为3，则图中共有多少个长方体？（此处长方体包含正方体）设计意图:利用一组难度逐渐递进的数学问题，让学生经历由线到面，由面到体。通过学生合作探究，领悟数学思想，总结解题方法，使学生加深对“握手问题”实质的理解，进而形成这类数学问题的知识链，掌握这类问题的解题方法。【模型变式】(1)下面我们研究：平面内n条直线相交的交点个数问题。容易理解，当这n条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的。也就是说，当这n条直线两两相交时交点个数最多。这和“握手问题”有类似之处。所以有以下结论成立：若平面内有2条直线，则最多有1个交点；（即：1=212=1）若平面内有3条直线，则最多有3个交点；（即：1+2=223=3）若平面内有4条直线，则最多有6个交点；（即：1+2+3=234=6）若平面内有5条直线，则最多有10个交点；（即：1+2+3+4=245=10）若平面内有n条直线，则最多有个交点；(2)下面再来研究：若平面内的n条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为：245-223=10-3=7条，其中245表示5条直线两两相交时的最多交点个数，223表示假如这三条也两两相交时的交点个数。若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为；(3)平面内有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们恰好有31个交点，怎样安排才能办到？请画出示意图。设计意图:通过变式培养学生的自主探究能力和类比联想能力，掌握数形结合的数学方法，解决数学问题的多样性。激发学生的求知欲，增强学生的解题应变能力，有利于提高学生的分析问题，解决问题的能力。【感悟收获】自我体会有何收获？教师引导：1、通过本堂课学习，你学会了什么？2、你学会了哪些重要方法？有什么启示？学生自由发言，可以相互补充设计意图:通过学生感悟收获，加深对本节课教学内容的理解，同时又实现了自我反……馈，从而建构起自己的知识体系。【课堂检测】问题提出：如图1，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？问题探究：我们先从较为简单的情形入手。（1）如图2，由2×1×1个小立方块组成的长方体中，长共有1+2=3232条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3×1×1=3个长方体。（2）如图3，由2×2×1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+2=3232条线段，高有1条线段，所以图中共有3×3×1=9个长方体。（3）如图4，由2×2×2个小立方块组成的正方体中，长、宽、高分别有1+2=3232条线段，所以图中共有个长方体。（4）由2×3×6个小立方块组成的长方体中，长共有1+2=3232条线段，宽共有条线段，高共有条线段，所以图中共有个长方体。问题解决：由n×n×n个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有条线段，所以图中共有个长方体。结论应用：如果由若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论。设计意图:主要是针对本堂课所学内容的检测，检测学生对本堂课所学知识的掌图1图2图3图4握程度，帮助学生巩固和消化课堂上所学的知识，发现并解决学生学习过程中存在的问题，弥补学生知识的缺陷。【布置作业】A层：方法介绍：同学们，生活中的很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合建立数学模型的方式来解决.例如：学校举办足球赛，共有五个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛？这是一个实际问题，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），如图①所示，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数.这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢？由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点都要与另外4点连接一条线段，这样5个点应该有5×4=20条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以学校一共要安排10场比赛.学以致用：（1）根据图②回答：如果有6个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛；（2）根据规律，如果有n个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛.问题解决：（1）小明今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手）.小明发现所有人握手次数总和为91次，那么合唱队有多少人？（2）A、B、C、D、E、F六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好，每两人之间不重复握手，如图③，已知A已经握了5次，B已经握了4次，C已经握了3次，D已经握了2次，E已经握了1次，请利用图③分析F已经和哪些人握手了.图①图②问题拓展：根据上述模型的建立和问题的解决，请你提出一个问题，并进行解答.B层：已知相邻两点距离为1。你知道，下图中共有多少个正方形吗？如图是由棱长为1的正方体堆成的长方体，其长为5，宽为4，高为3，则图中共有多少个正方体？设计意图:通过作业巩固本节课所学知识，“分层设计，分类评价”学生的作业为每一个学生创设了“天天向上”的机会，有利于不同层次学生的充分发展。BAFEDC图③