两角和与差及二倍角公式

第十八讲两角和与差及二倍角公式回归课本1.C(α-β)∶cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)∶cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβS(α+β)∶sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβS(α-β)∶sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβT(α+β)∶tan(α+β)=(α,β,α+β≠kπ+,k∈Z)T(α-β)∶tan(α-β)=(α,β,α-β≠kπ+,k∈Z).1tantantantan21tantantantan2注意:(1)注意公式的适用范围:在T(α±β)中,α,β,α±β都不等于kπ+(k∈Z).即保证tanα､tanβ､tan(α±β)都有意义.2(2)对公式tan(α+β)=,下面的四种变式在以后的解题中经常用到:①=tan(α+β)(逆用);②1-tanαtanβ=③tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);④tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β)-tanα-tanβ.1tantantantan1tantantantan;()tantantan2.在和角公式S(α+β)､C(α+β)､T(α+β)中,当α=β时就可得到二倍角的三角函数公式S2α､C2α､T2α.sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α,tan2α=22.1tantan3.余弦二倍角公式有三种形式,即cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,由此可得变形公式sin2α=,cos2α=,它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用.122cos122cos4.asinα+bcosα=sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ=,tanφ=.φ的终边所在象限由点(a,b)来确定.22ab22aab22babba注意:(1)公式成立的条件:在公式中,只有当公式的等号两端都有意义时,公式才成立.(2)公式应用要讲究一个“活”字,即正用､逆用､变形用,还要创造条件用公式,如拆角､配角技巧:β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β)等.注意切化弦､通分等方法的使用,充分利用三角函数值的变式,如1=tan45°,-1=tan135°,=tan60°,=cos60°或=sin30°,sinx+cosx=2sin学会灵活地运用公式.312123,3x(3)当角α,β中有一个角为90°的整数倍时,使用诱导公式较为简便,诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特例.(4)搞清公式的来龙去脉,C(α-β)是基础,其他公式都是用代换法及诱导公式得到的推论,即(5)二倍角公式的正用､逆用及变形用是公式的三种主要使用方法,特别是变形用有时恰是解题思路的关键.如:2sinαcosα=sin2α,sinαcosα=sin2α,cosα=cos2α-sin2α=cos2α,=tan2α,122,2sinsin221tantan1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.考点陪练1.sin15°cos75°+cos15°sin105°等于()解析:sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin90°=1.答案:D1.0.23..12ABCD3,,,2541..771..2.sin77tanABCD已知则等于343,,,,.25543:sinco1114.34171a4stntantantan解析而答案:A1,,0,243.co11..2233..22s2sinABCD已知其中则的值为2211.241,0,.42:cos212sin,sinsin解析又答案:B4.下列各式中,值为的是()A.2sin15°cos15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos215°3222222:A:2sin15cos15sin30B:cos15sin15cos30C:2sin151cos30D:sin15cos151;233;;221.解析答案:B35,,0,,,0,513223363..656533635.cos()sin..656sin5ABCD已知且则等于:(0,).cos()sin()cossinsinsincos0,,,0,2230,0,.52412,5134123533.5135136cossinA5.解析由于因此又由于因此且因此选答案:A类型一两角和与差的三角函数解题准备:利用和差公式对三角函数式进行化简与求值,是每年高考必考内容,纵观近几年的高考试题,对本考点的内容一是直接考查,二是以和差公式为角的变换工具,与向量､函数､不等式等知识相结合的综合题.211,,23()(1)sin()sin().tantantantanotan【典例】已知求的值[分析]先将条件等式展开,联立方程组求得sinα•cosβ与cosα•sinβ的值,再将待求式子化简即可.11(),2211()[,,3351,].1212sinsincoscossinsinsincoscossinsinocoscososin解由得解得22()()()()(1)()5.tantantantanotantantantanotantanotantansinocostancososin[反思感悟]已知三角函数值,求三角函数式的值,往往要对待求式进行化简.像本题通过化简发现必须先求的值,而已知条件为正弦函数值,因此由求转化为求的值,从而容易想到将两个条件等式展开,再联立方程组即可.tantantantan··sincoscossin类型二二倍角的三角函数解题准备:本考点的考查基本上是以二倍角公式或变形公式为工具,对角或函数名称进行恰当变换,以化简求值为主,在具体问题中,必须熟练准确地运用公式.2cos.22,,,322cossinsin【典例】已知求的值2227,,1.329321,22[]cos14n.22,sicoscossinsincossinsincoscoscossinsinsincos解因为所以又原式所以[反思感悟]二倍角的余弦公式的正用是化倍角为单角,相应三角函数式项的次数翻倍(即升幂);其逆用则是化二次式为一次式(即降幂),单角变倍角,求解中注意倍角与单角的相对性.类型三辅助角公式的应用解题准备:1.由S(α+β),我们可以得出辅助角公式,即asinx+bcosx=sin(x+φ)(其中φ角的终边所在象限由a,b的符号确定,φ角满足cosφ=,sinφ=,这是经常用到的一个公式,它可把含sinx、cosx的一次式的三角函数式化为Asin(x+φ)的形式,从而进一步探索三角函数的性质.22ab22aab22)bab2.:sinxsinxcosx32;32;432.6sinxcosxsinxsinxcosxcosx常用结论①②③2223,64sin23120020.sincos【典例】不查表计算222222222320202020(32020)(32020)[]64sin2064sin1404162064sin2032cos40804040146032.24cossinsincoscossincossinsinsinsinsincos解原式22 []asinbc,,,6433os,,,.ab反思感悟对于形如的三角函数式的化简求值往往需要通过提取公因式构造辅助角主要为然后逆用两角和与差的正､余弦公式化简尤其是当系数中含有时一般都可运用辅助角公式错源一使用公式时不注意使用条件2222221sinm,,tan2(2121..121221.)D12.mmmmABmmmmCm【典例】若为第二象限角则的值为以上全不对2222221[]sinm,,:cos1,,1221,11tantan2A.2msinmmtanmmtanm错解由为第二象限角得故选[剖析]这是一道热点测试题,上述解法执行了“标准”答案选A.题设条件中的m∈(0,1),事实上,如当α=2kπ+(k∈Z)时,1-2m2=0,tan2α失掉意义,若题设条件中限制m≠,则应当选A.[答案]D3422错源二求角时对角的范围讨论不准确【典例2】若tan(α-β)=,tanβ=,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.12172()123,,1()31423 [tantan]tan2tan(2)t1,,12an2020,2224,,223.44tantantantantantantantantantan错解所以所以由题设知得又所以故或[剖析]上述解法就是犯了对角的讨论不正确而错误确定了所求角的取值范围.2 [tantan]ta()123,n2tan(2)tan0,(0,),002,tan202tan(0,),,1()31421.121,3230,,421,,72tantantantantantantantantantan正解所以所以由且知所以又所以又且所以所以20,,4223.所以技法一构造斜率【典例1】求值:2040.2040sinsincoscos[解]设A(cos40°,sin40°),B(cos20°,sin20°),于是所求是A､B两点连线的斜率kAB,而A､B两点都在单位圆x2+y2=1上.设直线AB与x轴交于C点,作OD⊥AB垂足为D.易知∠xOB=20°,∠xOA=40°,∠BOA=20°,∠BOD=10°,于是在Rt△COD中,∠COD=30°,∠DCO=60°,于是直线AB的倾斜角∠xCD=120°,所以kAB==tan120°=20402040sinsincoscos3.技法二巧用两角和与差公式解题一､巧变角1.巧凑角【典例2】若锐角α、β满足cosα=,cos(α+β)=,求sinβ的值.4535[解]注意到β=(α+β)-α,∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα∵α为锐角且cosα=,∴sinα=452431.5534,,.52544337.55cos()0si5525n()sin又则2.巧拆角【典例3】求的值.[解题切入点]该题为非特殊