研究生录取问题优化模型

1研究生录取问题优化模型摘要研究生录取问题具有非常广泛的理论意义与强烈的实际背景，社会上已经对研究生录取方案的改进有了不少的讨论并形成了一系列的观点。为解决在研究生录取中如何科学的择优录取以及使导师与学生双向选择达到最大满意度的问题，我们建立模糊综合评价模型和一般指派问题的规划模型，根据双向选择来达到最大满意度，并利用MATLAB、LINGO等软件求解。首先，利用模糊综合评价模型对学生的综合成绩加以量化，确定10名研究生的录取名单，并对学生对导师的满意程度、导师对学生的满意程度进行量化；其次，利用一般指派问题的规划模型制定出学生和导师的最优双向选择方案；最后，给出一种更能体现“双向选择”的研究生录取方案，依次建立三个数学模型。在模型一中，对等级量化后要求先按分数择优录取，然后根据模糊评价以及柯西函数，建立10名研究生与10名导师之间最佳双向选择方案的多级综合评价数学模型，使师生双方的满意度达到最大；模型二在模型一的基础上，加上一对一的约束条件建立优化模型，从而可以得出一名导师带一名研究生的最佳方案；而模型三应用双向选择方法，让10名导师和10名研究生之间做双向选择，并给出了双向选择方案。在模型中，我们定义了学生与导师的互相满意程度来度量学生与导师的配合方案，满意度越大表明所制定的人员分配方案越优。关键词：模糊综合评价；指派问题；双向选择；柯西隶属函数21.问题重述某学校某系计划招收10名计划内研究生，依照有关规定由初试上线的前15名学生参加复试，专家组由8位专家组成。在复试过程中，要求每位专家对每个参加复试学生的专业知识面、思维的创造性、灵活的应变能力、文字和口头的表达能力和外语水平等综合素质5个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为///ABCD四个等级。可以认为专家组的面试整体评价是客观的，最后由主管部门综合所有专家的意见和学生的初试成绩等因素确定录取名单。该系现有10名导师拟招收研究生。在这里导师和学生的基本情况都是公开的。要解决的问题是：(1)首先，请你综合考虑学生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门确定10名研究生的录取名单。然后，要求被录取的10名研究生与10名导师之间做双向选择，请你给出一种10名研究生和导师之间的最佳双向选择方案（并不要求一名导师只带一名研究生），使师生双方的满意度最大。(2)根据上面已录取的10名研究生的专业志愿，如果每一位导师只能带一名研究生，请你给出一种10名导师与10名研究生双向选择的最佳方案，使得师生双方尽量都满意。(3)如果由十位导师根据初试的成绩及专家组的面试评价和他们自己对学生的要求条件录取研究生，确定研究生录取的新方案。为简化问题，假设没有申报专业志愿，请你给出这10名研究生各申报一名导师的策略和导师各选择一名研究生的策略。(4)充分考虑学生的申报志愿情况，给出一种导师和研究生的选择（录取）方案，以及每一名导师带2名研究生的双向选择最佳策略。2.模型假设1)假设研究生所填报的志愿不存在调剂现象；2)假设各个专家对学生的评分是客观公正的，不存在因个人因素而故意给学生大过高或过低分值的现象；3)假设在笔试中已经对学生的各种能力做了比较全面、合理的测试；4)学生所填报的志愿应尽量满足，专业不对口将会降低师生的满意度。3.符号说明符号符号说明3kR专家k对学生五项指标的评价jir第j个学生第i个项专长的复试成绩jB第j个学生的复试成绩jA第j个学生的笔试成绩`jA第j个学生规范化的笔试成绩jC第j个学生的综合成绩4.问题分析高校拟招收的10名研究生，由初试上线的15名学生参加复试，复试专家组由8位专家组成。在复试过程中，要求每位专家对每个参加复试的学生的各个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为///ABCD四个等级。该系现有10名导师拟招收研究生，分为四个研究方向。我们要综合考虑导师的研究方向、专业学术水平以及对学生的期望要求、学生各个方面的能力等因素，帮助主管部门确定研究生的录取名单。问题的主要要求如下所示：1）对导师和学生的综合评价及择优录取的问题。首先，由于各专家对每个学生的五项条件都有一个主观评判结果，则可据此确定各专家对每一学生的五项条件的量化值，再综合8名专家的评分就可得到每个学生的量化评分；然后，由初试成绩与复试成绩规范化后的综合成绩排序择优录取10名研究生。2）最佳双向选择问题。该问题包括两个方面：一对多选择（一个导师选多个学生）,一对一选择（每一名导师只带一名学生）。用模糊评判及权重的相关知识分别确定学生对导师、导师对学生的满意度，而最优的双向选择方案应是使得所有的导师和学生的相互满意度之和最大。3）如果由十位导师根据初试的成绩及专家组的面试评价和他们自己对学生的要求条件录取研究生，确定研究生录取的新方案。为简化问题，假设没有申报专业志愿，请你给出这10名研究生各申报一名导师的策略和导师各选择一名研究生的策略。在模型二（一般指派问题的规划模型（问题一的模型））的基础上添加约束条件11(1,2,3,...,10)nijjnx，利用01规划求解，得到研究生录取的新方案。4）在充分考虑学生申报情况的前提下，给出一种导师和研究生的选择方案，以及4每一名导师带两名研究生的双向选择最佳策略。首先，在充分考虑考生志愿和专业平衡的条件下，给出5名导师和10名学生的选择策略；然后，在此基础上采用虚拟导师的方法转化问题2）中的情况进行求解。5）设计出一种更能体现双向选择的研究生录取方案，最终使师生的满意度最大。5.模型的建立与求解5.1模型一：模糊综合评价模型[1][2]在复试过程中，每位专家对每个参加复试学生的专业知识面、思维的创造性、灵活的应变能力、文字和口头的表达能力和外语水平5个方面都给出一个等级评分，10名导师对每个学生以上5个方面也给出一个期望要求的等级评分，从高到低共分为///ABCD四个等级。等级的评判并非精确的，而是具有模糊性，因此我们可以通过模糊数学的方法解决此问题。然而，应用模糊数学的关键在于建立符合实际的隶属函数。我们建立模糊综合评价模型对学生的综合成绩加以量化以及学生对导师的满意程度、导师对学生的满意程度进行量化，对等级量化后要求先按分数择优录取10名研究生，然后根据模糊评价以及柯西函数，建立10名研究生与10名导师之间最佳双向选择方案（一对多选择：一个导师选多个学生）的多级综合评价数学模型[3]，使师生双方的满意度达到最大。5.1.1学生复试成绩的量化学生的五项条件都具有一定的模糊性，评价分为///ABCD四个等级，即构成模糊集1234{,,,}Uuuuu，不妨设相应的评语集为{很好，好，较好，差}，对应的数值为：1234{,,,}Uuuuu，根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数：21[1()],13lnb,3()5xxaxfxx(1)其中，，a，b为待定常数，实际上，当评价为“很好”时，则隶属度为1，即j；当评价为“较好”时，则隶属度为0.8，即(3)0.8f；当评价为“很差”时（在这里没有此评价），则认为隶属度为0.01，即(1)0.01f；于是可以确定出=1.1086，=0=8942，0.3915a,0.3699b，代入公式（1）得到相应的隶属函数，经计算得(2)0.5245f，5(4)0.9126f，则专家对各单项指标的评价（评语集）{A,,,}BCD={很好，好，较好，差}的量化值为(1,0.9126,0.8,0.5245)。根据题目数据可以得到各个专家对每一个学生的五项评价矩阵：(),(1,2,...,8)()155kkRrkji（2）由于8名专家的地位应该是平等的，于是综合8名专家评价结果得到15个学生的五项条件的复试得分为：1(),(1,2,...,8;1,2,...)81nknirrijijk（3）同样，学生的五项条件在综合评价中的地位也应该是同等的，则15个学生的综合复试得分可表示为：1,(1,2,...,5;1,2,...)51nniBrjiji（4）以上利用MATLAB软件求解[4]，求解程序详见附录1，求得结果详见附录2。5.1.2初试成绩的规范化为了便于将初试成绩与复试成绩做统一的比较处理，用极差的规范化方法做相应的规范化处理，初试得分的规范化：min356`(j1,2,3,...)maxmin416356jjjjjjAAAAAA（5）5.1.3学生的综合成绩由于不同的学校对待初试和复试成绩的重视程度可能会不同，而且根据题目加大了复试的作用，这里给学生的初试成绩和复试成绩加权，分别赋于权系数0.4,0.6，则学生j的综合分数为：''1,2,,15jjjCABj（6）根据学生的综合成绩，按从大到小排序就可以择优录取10名研究生。利用MATLAB软件求解（程序详见附录1），结果如下：表一学生综合成绩排名学生名次复试学生总成绩1学生10.99362学生20.9503学生30.6824学生40.5985学生50.5776学生120.5467学生90.5348学生80.4999学生60.47810学生150.38811学生70.38412学生110.31413学生130.26514学生140.22415学生100.1835.1.4导师对学生的满意度导师对学生有五方面的专长要求，相应每位学生都有专家对其五项专长面试的得分，导师对学生专长的要求和专家对学生专长的评价都有四个等级，并且都具有模糊性，即构成模糊指标集1,2,3,4{}Uuuuu，五个指标元素分别为灵活性，创造性，专业面，表达力和外语。每一位导师对学生的每一项指标都有一个“满意度”，将即反映导师对某项指标的要求与学生实际水平差异的程度。导师对学生的要求和专家对学生专长的得分进行比较，如果专家对学生专长的得分与导师对学生的要求相符合，用4表示；如果专家对学生专长的得分比导师对学生的要求高一个等级，两个等级，三个等级，分别用5,6,7表示；如果专家对学生专长的得分比导师对学生的要求低一个等级，两个等级，三个等级，分别用3，2，1表示。于是认为导师对学生某项指标的满意程度可以分为“很不满意”，“不满意”，“不太满意”，“基本满意”，“比较满意”，“满意”，“很满意”七个等级，即构成了评语集1,2,3,4,5,6,7{}Vvvvvvvv，并赋相应的数值{1,2,3,4,5,6,7}。根据实际情况，则可以取类似于（1）式的近似偏大型柯西分布隶属函数：21[1()],14ln,4(7)xxaxbfxx（7）实际上，当很满意时，则满意度的量化值为1，即(1)1f；当“基本满意”时，则满意度量化值为0.8，即(4)0.8f；当“很不满意”时，则满意度量化值为0.01。于是可以确定出相应的参数为2.14944,0.8423,0.1787,0.6523ab。经过计算得7(2)0.3499,(3)0.6514,(5)0.9399,(6)0.9725ffff，则导师对学生各单项指标的满意程度1,2,3,4,5,6,7{}vvvvvvv的量化值为：(0.01,0.3499,0.6514,0.8,0.9399,1)。将已录取的十名研究生重新编号，依次从1到10，根据题目中关于这10名研究生的评价数据，可以分别计算得到每一个导师对每一个研究生的各单项指标的满意程度的量化值，分别记为：(1)(2)(3)(4)(5)((),(),(),(),())(1,2,...,8)ijijijijijkkkkkkSSSSS（8）类似地，第i个导师对第j个研究生的第l项指标的综合满意程度为：(l)()11()(,1,2...10;1,2,...,8)8nlijijkkijnSS（9）第i个导师对第j个研究生的五项条件的综合满意程度为：()11(,1,2...10;1,2,...,5)5nlijijlijnSS（10）于是可得10名导师对10名研究生的满意度矩阵：1010()SijS（11）利用LINGO软件