中南大学概率论历年试题分析

题型分析一、利用全概率公式与贝叶斯公式计算复杂事件的概率及其他求概率题型12010考题（级）::,.,.,.2210100150322009512三、(本题12分)一商店为甲、乙、丙三厂销售同类型号的家用电器，该三个厂的比例是并且它们的次品率分别是，某顾客从这些产品中任意选购一件，试求：（）顾客买到正品的概率；（）若已知顾客买到的是正品，则它是乙厂生产的的概率考题（级）是多少？121 {}{}{}{}BAAA令顾客买到正品，顾客买到甲厂的产品，顾客买到乙厂的产品，顾客买到丙厂的产品，依题意1231232211555010015035()(),(),(),(|).,(|).,(|).PAPAPAPBAPBAPBA[解]311221010015035017555()()(|)....iiPBPAPBA1083()().;PBPB2222221015134508383()()(|)()(.)()((|)().PABPABPBPAPBAPB21122008212三、(本题12分)设甲袋中装有个白球，个黑球；乙袋中装有个白球，个黑球；现从甲袋中任取1个球放入乙袋中，再从乙袋中任取一个球，（）求从乙袋中取出的球为白球的概率；（）已知从乙袋中取出的球为白球，求从甲袋中取到白球考题（级）的概率。12,,BBA设分别表示“从甲袋中取出的球为白球，黑球放入乙袋”的事件,表示“从乙袋中取出的球为白球”的事件由题意[解]12121221113324(),((|)(|),PBPBPABPABBB)=,,,为一完备事件组。1122121115323412()()()(|)((|);PAPBPABPBPAB有全概率公式知：)111112221435512()(|)(|)()(|)()(|).PBPABPBAPBPABPBPAB（）由全概率公式知：21008(),PAAB八、(本题6分）证明考题3：若则与任意事件（级作业题）相互独立。1(),PAQ11()()AABPAPABQUU1()()()()()PABPABPAPBPABUU()()()()PABPBPAPB.AB则与任意事件相互独立[证明]200525873532162三、(本题分)有甲乙两个盒子，甲盒中有个白球个黑球，乙盒中有个白球个黑球，现从甲盒中任取个球放入乙盒中考题，再从乙盒中任取一个球，求（）从乙盒中取出的球为白球的概率；（）若从乙盒中取出的球是白球，求从甲盒中取出放入乙盒的两个球都是白4（级学时）球的概率。[解]012,,),kAkkB设表示“从甲盒中取出的两个球为个白球”(表示“从乙盒中取出一个球为白球。则230210311109215()()()/CPAC012567101010(|),(|),(|)PBAPBAPBA11731210737109215()()/CCPAC2722107627109215()/()()/CPAC1576771615101510151025()PB由全概率公式得2222()()(|)(|)()PAPBAPABPB由贝叶斯公式得71571049162596(/)(/)/52005256P1231.282012820四、(本题7分)甲乙两艘油轮驶向一个不能同时停泊两艘油轮的码头，他们将在某日的时至时考题（抵达码头，甲轮卸完油要小时，乙轮要小时。假设每艘油轮在时至时的每一时刻抵达码头都是等可能的。求甲、乙两轮都不需要等待空级学时四作业题）出码头的概率。,XY这是几何概型问题，设甲轮到达码头的时刻为乙轮到达码头的时刻为，则依题意有[提示]82082021xxxyyx11111010221221212288gPG所以，“甲、乙两轮都不需要等待空出码头”的概率为的面积的面积01207020141262003,,.,..四、(12分)玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含有只次品的概率分别是和，顾客购买时，任取一箱打开随机查看只，若无次品，就买下该箱玻璃杯，否则退回，试求（）顾客买下该箱的概率；（）顾客买下的一箱考题（级256中，仍有次品学时）的概率。012 {}{}(,,)iABii令买下该箱玻璃杯，任取一箱中有只次品，[解]0011221()()(|)()(|)()(|)PAPBPABPBPABPBPAB（）1122122()(|)()(|)()(|)()PBPABPBPABPBBAPAU4419184420200710201...CCCC0701600630923....016006302430923....12006考题（级大学数学32学时）281610[,]XxXx二、（分）设随机变量在区间上服从均匀分布，则方程有实根的概率是多少？1161650,(,],(),xXUfx:：其他解二、有关连续型随机变量及离散型随机变量的计算6214255{}PXdx22006P134考题（级大学数学32学时作业题）2800,(),xXexfxYX三、（分）设随机变量概率密度为，求的概率密度。其他22000(){},()YYFyPXyYXyFyQQ解：当时，20(){}{}YyFyPXyPyXy当时，01yyxedxe00102,(),yYyfyeyy求导得：10X010750(),()().,,cxxfxEXc三、本题分设随机变量的概率密度为且求常数和。其他1((]()[))fxdxEXxfxdx利用概率密度的性质：及期望的定：提示义得2005考题3（级第三学期224学时第二批）101101075,..cxdxcxdx2212X001424(),(),(){}()xxexfxPX七、本题分一门炮对一目标轰击，设弹着点与目标的距离为一随机变量，其分布密度为其他求；进行三次独立轰击，求至少有两次弹着点与目标的距离不超过的概率。2005考题4（级第三学期224学时第二批）24820141[]{}xPXxedxe（）解28X04()[,]()()(),()xabfxbaaEXbDX九、分设为连续型随机变量，其概率密度满足：时，。证明：2005考题5（级第三学期224学时第二批）2828383162433211132()()()pCeeCeee01[,]()()baxabfxfxdx，得解由时，()()()(),bbbaaaaafxdxEXxfxdxbfxdxb故210010(),(),axbxcxfx五、分设随机变量的分布密度为其他2003考题6（级第三学期256学时第二批）222222224(){()}(){()}()()()()()babaDXEXcababDXEXxfxdxabbabfxdxQ0501512().,().()()EDabc已知，求常数、和；求的分布函数。222120011()()()()()[()]().()()()()[,]xfxdxEXxfxdxEXxfxdxEXDXabcfxFxfxdxxxx（1）利用概率密度的性质：及期望的定义：，即可求得、及进而求得再分示及提讨论。210100010000(,(),Xxfxx二、（本题分）某种电子管的使用寿命以小时计）具有以下概率密度其他现有一批此种电子管（各电子管损坏与否相互独立），从中任取5只，问其中至少有两只寿命大于1500小时的概率是多少？2004考题7（级大学数学32学时）15000051145521500322221113333[]{}()()()()()PXfxdxpCC先求出=，则所求的概率为：提示2003考题8（级大学数学256学时）5000),(),()[]()[]xexxxgFy九.(分设随机变量的分布密度为求的分布函数，其中表示不超过的最大整数。00001101(1111()[]()(),([])()(()):()():()().,())()()()()nynnnnyxynnnnyygxxxgFyFyPyPgyyFyPyFyPSyFyPnnyxdxedxeeeee此题的关键是画的图形，设=的分布函数为则；提示从图可知：2007考题9（级大学数学256学时）2840006012809)(,),((.).)XN:四、(本题分某厂装配车间设立超额奖项，并希望有10的工人获得该奖，已知每人每月装配的产品数应规定每个工人每月至少装配多少产品才能获奖？0140004000091.286060{}.{}().,xPXxxxPXx设每人每月至少装配件，依题意而[提示]2007考题10（级大学数学256学时）0201230431010),.,().,,XxxFxxAx五、(本题11分设随机变量的分布函数为12346()()(){}.AXPX试确定；求的分布律；计算11()()[]FA提示；22310010306()...XXp的分布律为3466404004(){}()()..PXFF2007考题11（级大学数学224学时）2151101;(2),(),XAxfxxAX三、（本题分）设随机变量的概率密度为其他试求：（）系数的分布函数；13};(4)2{().PXEX（）[提示]1110011211211()(),()()arcsin,,fxdxAxFxxxx由通过讨论得：11221213}2}23211111}=14222(){{{()()()dxPXPXxPXFF（或）；由期望定义得。2008B考题12（级概率论）81234123404001234),(),,()()()()(),,,{max(,,,)}xXXYXxexfxxXFxYefyXXXXXPXXXX六、(本题15分设随机变量的概率密度为求的分布函数；求的概率密度；当相互独立且与同分布时，求123412344X4141[F(4)]{max(,,,)}{max(,,,)}PXXXXPXXXX[：提示]2010B考题1（级概率论）2010B考题2（级概率论）2009考题3（级概率论）2009考题4（级概率论）2009考题5（级概率论）2010考题1（级概率论32学时）四、有关随机变量的数字特征2010考题2（级概率论32学时）2010考题3（级概率论32学时）2009考题4（级概率）[提示]000,(),xexfxx222011()()(()()XXxxEYEXeEXEeeedx)=0202()cov(,)()()()()()()()xxXXEXXEXEXEXxfxdxxedxEXXxxfxdxxedx而210112()()()()cov(,)XXYXeEYXX五、本题分设随机变量服从参数的指数分布，且，求；2007考题4（级大学数学224学时）2010考题1（级概率论32学时）四、有关大数定理、中心极限定理42005256考题1（级学时）88031003032509938()((.).)