数学学院硕士研究生课程内容简介

数学与统计学院硕士研究生课程内容简介学科基础课--------------------泛函分析--------------------课程编号：121020202001课程类别：学科基础课课程名称：泛函分析英文译名：FunctionalAnalysis学时：60学时学分：3学分开课学期：1开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：基础数学、应用数学、运筹与控制论、课程与教学论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，基础数学系教师。内容简介：本课程介绍紧算子与Fredholm算子、抽象函数简介、Banach代数的基本知识、C*代数、Hilbert空间上的正常算子、无界正常算子的谱分解、自伴扩张、无界算子序列的收敛性、算子半群、抽象空间常微分方程。主要教材：张恭庆、郭懋正：《泛函分析讲义》(下册)，北京大学出版社，1990年版。参考书目（文献）：1．定光桂：《巴拿赫空间引论》，科学出版社，1984年版。2．M.Reed,B.Simon,MethodsofModernMathematicalPhysicsI,FunctionalAnalysis,1972.3．K.Yosida,FunctionalAnalysis,SixthEdition,1980.4．张恭庆、林源渠：《泛函分析讲义》(上册)，北京大学出版社，1987。5．V.Barbu,NonlinearSemigroupsandDifferentialEquationsinBanachSpaces,1976.6．A.Pazy,SemigroupofLinearOperatorsandApplicationstoPartialDifferentialEquations,1983.--------------------非线性泛函分析--------------------课程编号：121020502002课程类别：学科基础课课程名称：非线性泛函分析英文译名：NonlinearFunctionalAnalysis学时：60学时学分：3学分开课学期：2开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：应用数学、基础数学、运筹学与控制论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，应用数学系教师。内容简介：在无限维空间框架中，处理分析学的非线性问题的方式有着无穷的潜力，近数十年的成就以充足理由要求人们接受非线性泛函分析这一重要的分支学科。本课程以线性泛函分析的基本理论为基础，以微分方程、积分方程为背景，介绍非线性泛函分析的基本理论和基本方法，内容包括非线性泛函分析的基础知识、拓扑度理论、半序Banach空间与算子方程的正解、变分方法等。主要教材：钟承奎，等：《非线性泛函分析引论》，兰州大学出版社，1998年版。参考书目（文献）：1．郭大钧：《非线性泛函分析》(第二版)，山东科学技术出版社，2001年版。2．DeimilingK,Nonlinearfunctionalanalysis,Springer,1985.--------------------代数学--------------------课程编号：121020202003课程类别：学科基础课课程名称：代数学英文译名：Algebra学时：60学时学分：3学分开课学期：1开课形式：讲授考核形式：闭卷考试适用学科：本学院各专业授课单位及教师梯队：数学与统计学院，基础数学系教师。内容简介：本课程主要内容包括集合分类与等价关系，Zorn引理；群，群的同态、同构，群在集合上的作用，直积、直和，自由群，有限交换群的结构，Sylow定理，幂零群，群链与可解群；环的概念，环的同态、同构，交换环的分解理论，环的局部化理论，多项式环与幂级数环；模的概念，正和列，自由模，投射模与内射模，Hom函子与函子，代数。主要教材：1．T.W.Hungerford,Algebra,Springer-Verlag,1998.2．S.Lang,Algebra,Addison-Wesley,1984.--------------------代数拓扑学--------------------课程编号：121020202004课程类别：学科基础课课程名称：代数拓扑学英文译名：AlgebraicTopology学时：60学时学分：3学分开课学期：1开课形式：授课考核形式：闭卷考试适用学科：基础数学、应用数学授课单位及教师梯队：数学与统计学院，基础数学系教师。内容简介：拓扑学是几何学的一个分支，许多概念都有很强的几何背景，但是在表达形式上它又是很抽象的。它的概念是用公理化的方法建立的；它没有分析学那么多的计算，却大量运用逻辑推理。学习这门课程不需要很多知识上的准备，但需要良好的数学素养。通过学习拓扑学，能使抽象思维和逻辑推理能力得到训练。《代数拓扑学》主要介绍同伦论初步、单纯同调、奇异同调、映射度与不动点等内容，这部分内容涉及到代数学的许多基本概念，例如群、Abel群、自由循环群、同态、同构等等，所以要求初学者能够熟练的运用这些知识。在同伦论这部分内容中，定义了道路和映射的同伦，并构造了基本群，给出了复叠空间的定义，并用基本群的子群将复叠空间进行分类，最后按Hurewicz的作法，用圈空间归纳地定义了高维同伦群。本课程将同调论内容分为两部分：单纯同调和奇异同调，前者所适用的空间有局限性，后者适用于任意拓扑空间；单纯同调群与奇异同调群都是拓扑不变量。主要教材：M.J.格林伯格、J.R.哈普尔：《代数拓扑学》，高等教育出版社。参考书目（文献）：1．尤承业：《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社。2．孙以丰译：《基础拓扑学》，北京大学出版社。3．陈吉象：《拓扑学基础讲义》，高等教育出版社。--------------------微分拓扑学--------------------课程编号：121020202005课程类别：学科基础课课程名称：微分拓扑学英文译名：DifferentialTopology学时：60学时学分：3学分开课学期：2开课形式：授课考核形式：闭卷考试适用学科：基础数学、应用数学授课单位及教师梯队：数学与统计学院，基础数学系教师。内容简介：本课程是数学与统计学院研究生的专业基础课，它是拓扑学的一个分支，是拓扑学、代数学、函数论等诸多分支的交叉学科。它在映射的奇点理论、代数几何的分类问题、变分学、代数K-理论、微分几何和动力系统等理论上都有广泛的应用。主要讲授的内容包括Whitney的嵌入定理、向量丛与管状邻域定理、映射的光滑化与同伦的光滑化、正则值与横截性、向量场与流、Morse函数等。主要教材：张筑生著：《微分拓扑新讲》，北京大学出版社，2002年版。参考书目（文献）：1．MorrisW.Hirsch,DifferentialTopology,Springer-Verlag,1976.2．MartinGolubitskyandVictorGuillemin,StableMappingsandTheirSingularities,Springer-Verlag,1973.3．陈省身、陈维恒：《微分几何讲义》，北京大学出版社，1983年版。--------------------高等概率论--------------------课程编号：121020402006课程类别：学科基础课课程名称：高等概率论英文译名：ProbabilityTheory学时：60学时学分：3学分开课学期：1开课形式：讲授考核形式：闭卷考试适用学科：概率与数理统计授课单位及教师梯队：数学与统计学院，概率统计系教师。内容简介：本课程以测度论为工具，系统地讲述概率论的基本概念，同时还将介绍概率论的主要结果，从而为深入学习现代概率论、随机过程和数理统计提供必要的基础。本课程主要内容包括(1)可测空间：σ-域、半σ-域、尾σ-域、单调类定理、可测变换、可测函数的单调类定理等；(2)测度与测度的扩张：符号测度、诱导测度、乘积测度、测度的扩张、测度空间的完备化、一致可积性、几乎必然收敛与平均收敛、Fubini定理、Radon-Nikodym定理、一些重要的不等式（比如：Jensen,Holder,Schwarz不等式）等；(3)独立随机变量序列：Kolmo-gorov0-1律，三级数定理，强、弱大数定律、Wald等式，更新定理，特征函数，Cramer－Levy定理等；(4)条件期望与鞅：鞅的定义、基本性质以及应用，关于鞅的中心极限定理，鞅的上穿不等式与收敛性，Marcinkiewicz－Zygmund不等式，鞅的凸函数不等式，鞅的随机不等式等。主要教材：Chow,Y.S.,Teicher,H.,ProbabilityTheory,Springer-Verlag,NewYorkInc,1978.参考书目（文献）：1．汪嘉冈：《现代概率论基础》，复旦大学出版社。2．AshR.B.,RealAnalysisandProbability,AcademicPress,Inc.1972.3．严士健、王隽骧、刘秀芳：《概率论基础》，科学出版社，1999年版。--------------------高等随机过程--------------------课程编号：121020402007课程类别：学科基础课课程名称：高等随机过程英文译名：AdvancedStochasticProcesses学时：60学时学分：3学分开课学期：2开课形式：讲授考核形式：闭卷考试适用学科：概率与数理统计授课单位及教师梯队：数学与统计学院，概率统计系教师。内容简介：随机过程通常被定义为概率论的“动态”部分。人们着眼于从相互依赖关系和极限性态来研究随机变量族(称之为随机过程)，如观察一个在某种意义上受概率规律支配并随时间变化发展的过程，布朗运动质点的轨迹、细菌群体的增长、某放射源发射出的波动的粒子数等等都是在观察随机过程。可见随机过程遍及自然界，它出现在医学、生物学、物理学、海洋学、经济学及心理学中。本课程内容主要包括Poisson过程、更新理论、Markov链、平稳过程、Brown运动、随机游动与鞅。通过该课程的学习，使学生认识以随机过程为数学模型的各种各样的实际现象，学习建立概率模型的方法，从而学到解决实际问题的方法与思路和熟练应用数学技巧的能力。主要教材：S.M.RossJohnWiley&SonsPress著，何声武、谢盛荣、程依明等译：《随机过程》，中国统计出版社，1997年版。参考书目（文献）：1．钱敏平、龚光鲁：《应用随机过程》，北京大学出版社，1998年版。2．EmanuelParzen著，邓永录、杨振明译：《随机过程》，高等教育出版社，1987年版。3．EdwardP.C.Kao著：《AnIntroductiontoStochasticProcesses》，机械工业出版社，2004年版。--------------------现代数值分析--------------------课程编号：121020302008课程类别：学科基础课课程名称：现代数值分析英文译名：ModernNumericalAnalysis学时：60学时学分：3学分开课学期：1开课形式：讲授考核形式：闭卷考试适用学科：计算数学及相关专业学科授课单位及教师梯队：数学与统计学院，计算数学专业教师。内容简介：1．Weierstrass逼近定理：Weierstrass第一定理、Weierstrass第二定理的几种证明方法，Bernstein多项式的优缺点，线性正算子与Korovkin定理；2．最佳逼近多项式的一般理论：Chebyshev定理与Vallee-Poussin定理，直交函数系与广义Fourier级数，代数多项式逼近理论中的有关结果；3．插值方法：多项式插值、三角插值、样条插值及Bezier方法；4．数值积分：基于插值的数值积分、自适应求积、Romberg方法、Euler-Maclaurin公式、Gauss型求积公式、三角精度与周期函数的求积公式、奇异积分的计算；主要教材：Part1.Cheney,E.W.IntroductiontoApproximationThe