高考文科导数考点汇总

第1页共12页高考导数文科考点总结一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。导数概念与运算知识清单1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值xy叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|0xx。即f（x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：（1）函数f（x）在点x0处可导，是指0x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量x在x0处的改变量，0x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数f’(x0)=xyx0lim。2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。第2页共12页3．几种常见函数的导数:①0;C②1;nnxnx③(sin)cosxx;④(cos)sinxx;⑤();xxee⑥()lnxxaaa;⑦1lnxx;⑧1lglogaaoxex.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)'''vuvu法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uvvuuv若C为常数,则'''''0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''CuCu法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu‘=2''vuvvu（v0）。形如y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|X=y＇|U·u＇|X导数应用知识清单单调区间：一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果'f)(x0，则)(xf为增函数；如果'f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有'f0)(x，则)(xf为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3．最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数f)(x在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ)(x在(a，b)内的极值；②求函数ƒ)(x在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；第3页共12页③将函数ƒ)(x的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1．32()32fxxx在区间1,1上的最大值是22．已知函数2)()(2xcxxxfy在处有极大值，则常数c＝6；3．函数331xxy有极小值－1,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34yxx在点1,3处的切线方程是2yx2．若曲线xxxf4)(在P点处的切线平行于直线03yx，则P点的坐标为（1，0）3．若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为430xy4．求下列直线的方程：（1）曲线123xxy在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2xy过点P(3,5)的切线；解：（1）123|yk231)1,1(1x/2/23－上，在曲线点－xxyxxyP所以切线方程为0211yxxy即，（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00yxA，则200xy①又函数的导数为xy2/，所以过),(00yxA点的切线的斜率为0/2|0xykxx，又切线过),(00yxA、P(3,5)点，所以有352000xyx②，由①②联立方程组得，255110000yxyx或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201xk；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202xk；所以所求的切线有两条，方程分别为251012)5(1025)1(21xyxyxyxy或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23fPxfycbxaxxxf上的点过曲线的切线方程为y=3x+1（Ⅰ）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(xfy在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(xfy在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围第4页共12页解：（1）由.23)(,)(223baxxxfcbxaxxxf求导数得过))1(,1()(fPxfy上点的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(xbacbayxffy即而过.13)]1(,1[)(xyfPxfy的切线方程为上故3023323cabacaba即∵124,0)2(,2)(bafxxfy故时有极值在③由①②③得a=2，b=－4，c=5∴.542)(23xxxxf（2）).2)(23(443)(2xxxxxf当;0)(,322;0)(,23xfxxfx时当时13)2()(.0)(,132fxfxfx极大时当又)(,4)1(xff在[－3，1]上最大值是13。（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又,23)(2baxxxf由①知2a+b=0。依题意)(xf在[－2，1]上恒有)(xf≥0，即.032bbxx①当6,03)1()(,16minbbbfxfbx时；②当bbbfxfbx,0212)2()(,26min时；③当.60,01212)(,1622minbbbxfb则时综上所述，参数b的取值范围是),0[2．已知三次函数32()fxxaxbxc在1x和1x时取极值，且(2)4f．(1)求函数()yfx的表达式；(2)求函数()yfx的单调区间和极值；解：(1)2()32fxxaxb，①②第5页共12页由题意得，1,1是2320xaxb的两个根，解得，0,3ab．再由(2)4f可得2c．∴3()32fxxx．(2)2()333(1)(1)fxxxx，当1x时，()0fx；当1x时，()0fx；当11x时，()0fx；当1x时，()0fx；当1x时，()0fx．∴函数()fx在区间(,1]上是增函数；在区间[1,]１上是减函数；在区间[1,)上是增函数．函数()fx的极大值是(1)0f，极小值是(1)4f．3．设函数()()()fxxxaxb．（1）若()fx的图象与直线580xy相切，切点横坐标为２，且()fx在1x处取极值，求实数,ab的值；（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数()fx总有两个不同的极值点．解：（1）2()32().fxxabxab由题意(2)5,(1)0ff，代入上式，解之得：a=1，b=1．（2）当b=1时，()0fx令得方程232(1)0.xaxa因,0)1(42aa故方程有两个不同实根21,xx．不妨设21xx，由))((3)(21'xxxxxf可判断)('xf的符号如下：当时，1xx)('xf＞０；当时，21xxx)('xf＜０；当时，2xx)('xf＞０因此1x是极大值点，2x是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数()fx总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象1．如右图：是f（x）的导函数，)(/xf的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）第6页共12页（A）（B）（C）（D）2．函数的图像为14313xxy(A)3．方程内根的个数为在)2,0(076223xx(B)A、0B、1C、2D、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1．设函数.10,3231)(223abxaaxxxf（1）求函数)(xf的单调区间、极值.（2）若当]2,1[aax时，恒有axf|)(|，试确定a的取值范围.解：（1）22()43fxxaxa=(3)()xaxa，令()0fx得12,3xaxa列表如下：x（-∞，a）a（a，3a）3a（3a，+∞）()fx-0+0-()fx极小极大∴()fx在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减xa时，34()3fxba极小，3xa时，()fxb极小（2）22()43fxxaxa∵01a，∴对称轴21xaa，∴()fx在[a+1，a+2]上单调递减∴22(1)4(1)321Maxfaaaaa，22min(2)4(2)344faaaaa依题|()|fxa||Maxfa，min||fa即|21|,|44|aaaaxyo4-424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o4224第7页共12页解得415a，又01a∴a的取值范围是4[,1)5题型六：利用导数研究方程的根1．已知平面向量a=(3,－1).b=(21,23).（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，试求函数关系式k=f(t)；(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.解：(1)∵x⊥y，∴xy=0即[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0.整理后得-k2a+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)·2b=0∵ab=0，2a=4，2b=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=41t(t2-3)(2)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=41t(t2-3)与直线y=k的交点个数.于是f′(t)=43(t2-1)=43(t+1)(t-1).令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(t)+0-0+F(t)↗极大值↘极小值↗当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=21.当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21函数f(t)=41t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，可观察出：(1)当k＞21或k＜－21时,方程f(t)－k=0有且只有一解；第8页共12页(2)当k=21或k=－21时,方程f(t)－k=0有两解；(3)当－21＜k＜21时,方程f(t)－k=0有三解.题型七：导