《解题研究》第六期

学大教育XUEDA．COM解题研究JournalofMathematicalProblemSolving第六期２０１４呼和浩特市学大教育解题研究(本刊由陕西师范大学罗增儒教授题写刊名)顾　　问罗增儒　　陕西师范大学彭翕成　　华中师范大学曹卫军　　呼和浩特市学大教育主　　编齐建民　　呼和浩特市学大教育执行主编宫前长　　甘肃省天水市第一中学责任编辑(按姓氏笔画为序)王　耀　　江苏苏州田家炳实验高级中学韦兴洲　　广西桂林恭城中学冯加明　　南京９８５学堂许永忠　　山东临沂第二中学李　勇　　呼和浩特学大教育何万程　　佛山凯尔资讯科技有限公司汪仁林　　陕西咸阳乾县杨汉中学张　平　　呼和浩特学大教育陈兆华　　江苏苏州市教育科学研究院陈泽桐　　广州大学数学与信息科学学院郑　良　　安徽灵璧第一中学高振敏　　呼和浩特学大教育蒋寿义　　武汉３６５图书工作室程汉波　　广州市第二中学蔡玉书　　江苏苏州市第一中学CONTENTS目　录　１．例谈数学解题的直觉与经验———张建强1􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　２．圆锥曲线的几个定点问题———何万程4􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　３．为什么漏解了———祝益锋7􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　４．近年浙江数学考题难题背景分析———张小明　陈朝阳9􀆺􀆺　５．一道全国高中数学联赛试题的推广与证明———蔡玉书13􀆺􀆺　６．探赛题之妙　赏数学之美———王晋远　许永忠15􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　７．一类二元最值问题的通解—配方法———范花妹　秦庆雄19􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　８．外森比克不等式的一个加强的加强———李　歆21􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　９．对一道经典题目的新思考———蒋明斌22􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　１０．一道不等式征解题的６种证法———刘再平26􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　１１．一个不等式的推广———罗　亮30􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　１２．对一道自主招生试题的解答与评价———林　磊32􀆺􀆺􀆺􀆺　１３．探索解题方法自然生成的轨迹———王志进34􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺—１—　１４．对一道考试题从特殊到一般的讨论———赵　钊36􀆺􀆺􀆺􀆺　１５．“构”平台　“夯”基础　“暴”思维　“促”探究———宫前长40􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　１６．从面积的角度看向量间关系———刘祥云44􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　１７．微积分新概念的教学　脚步何妨慢一点———彭翕成46􀆺􀆺　１８．函数方程不等式三法破解酒杯中的解析几何题———邹生书48􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　１９．过椭圆外一点作椭圆切线的一种方法———徐文春52􀆺􀆺􀆺　２０．多法解析一道教师基本功比赛试题———王　耀53􀆺􀆺􀆺􀆺　２１．对一个数学问题及其解答的思考———贺　斌　汤德彩54􀆺　２２．一道经典试题的多角度思考及其推广———范世祥57􀆺􀆺􀆺　２３．关于解题研究栏目的设置———彭翕成　齐建民60􀆺􀆺􀆺􀆺　人物风采封三􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺—２—例谈数学解题的直觉与经验———张建强高考风向标例谈数学解题的直觉与经验张建强　深圳中学　QQ:５１３１９４４０一、引言引题同学们好!欢迎来到深圳中学．这是你们在深中的第一节数学课．数学的核心价值在于发现问题、解决问题,而这两者都离不开直觉和经验．考虑到同学们的实际情况,我想通过对一道题目的分析,着重谈一下“数学解题的直觉和经验”．这道题给大家五分钟思考时间．题目:计算:１０＋１＋１０＋２＋１０＋３＋􀆺＋１０＋９９１０－１＋１０－２＋１０－３＋􀆺＋１０－９９＝(　　)．二、解法探索Section　１　找到问题的核心首先,观察本道题的结构,它是一个分式,分子分母是两个有一定规律的很长的式子求和．我们看到,分母只是把分子中的一些加号变成减号,上下具有对称结构,所以,我们初步的打算是:先解决分子怎样求和的问题．直觉１:题目的对称性先研究:１０＋１＋１０＋２＋１０＋３＋􀆺＋１０＋９９＝(　　)．对于有一定规律的式子,经常怎样求和呢?回顾以前的经验,可以回忆起下面两个熟悉的题目:经验１:有规律的长式子求和的两种常见策略(１)１＋２＋３＋􀆺＋９９＋１００＝(１＋１００)×５０———配对;(２)１１×２＋１２×３＋􀆺＋１９９×１００＝(１１－１２)＋(１２－１３)＋􀆺＋(１９９－１１００)＝１－１１００———拆分;可以发现:(１)首尾对应项相加是定值,１＋１００＝２＋９９＝３＋９８＝􀆺,都等于１０１,所以,式子的和为５０个１０１．这种求和策略,我们称之为“配对”,经常是首尾对应项相结合．(２)可以用拆分的策略．我们观察到１n(n＋１)＝１n－１n＋１,这样可以造成正负抵消,达到化简的目的．这两个题目分别运用“合”与“分”的策略．那么,回到本节课的问题,大家认为是应该“合”还是应该“分”呢?直觉２:分合的选择如果选择“合”的策略,看起来应该关注类似“１０＋１＋１０＋９９”这样的配对能否化简?如果选择“分”的策略,应该关注类似１０＋９９的式子能否拆开?同学们,你们有过将类似的二重根式开出来的经验吗?Section２　拆分的探索过程先试一下下面两个问题:经验２:两重根式的开方３＋２２＝１２＋(２)２＋２２＝１＋２,—１—第６期(总第６期)解　题　研　究２０１４年９月２＋３＝４＋２３２＝１２＋(３)２＋２３２＝１＋３２,关键是把根号里面凑成完全平方式(a２＋b２＋２ab＝(a＋b)２)．当然,并不是所有的根式都能开出来,那么,１０＋９９能否这样做呢?大家试一试:１０＋９９＝２０＋２９９２＝９＋１１２．但是,我们马上想到１０＋９８怎么办?１０＋９７怎么办?􀆺􀆺这时,另一个经验就会帮助我们了．经验３:一般化的策略有时候,我们将问题一般化,更容易发现本质,找到解决策略．上述这些式子,都是１０＋１０２－k的形式．于是,我们发现:　　　　１０＋１０２－k＝１０＋１０＋k１０－k＝２０＋２１０＋k１０－k２＝(１０＋k)２＋(１０－k)２＋２１０＋k１０－k２＝１０＋k＋１０－k２．我们真的把它拆开了!一个二重根式拆成了两个二重根式的和．注意,是“和”!而我们知道,只有拆分成“差”,才能消去大量的数字,得到简洁的形式．怎么办?Section３配对与对称的直觉好,有同学再次想到了“配对”的策略．直觉３:再次利用配对将首尾对应项相加,其一般形式为１０＋k＋１０＋１０２－k．现在,我们已经知道,后面的根式可以开出来,于是得到:１０＋k＋１０＋１０２－k＝１０＋k＋１０＋k＋１０－k２＝(２＋１)１０＋k＋１０－k２．很美妙吧!有用吗?大家看,如果这样结合,分子会变成　　　　　(２＋１)１０＋１＋１０－１２＋(２＋１)１０＋２＋１０－２２＋􀆺＝(２＋１)(１０＋１＋１０＋２＋􀆺)＋(１０－１＋１０－２＋􀆺)２．更复杂了!怎么办?大家有没有新的直觉?—２—例谈数学解题的直觉与经验———张建强高考风向标直觉４:再次利用对称再次回到题目,关注分子分母的对称性,我们大胆设想:１０＋１＋１０＋９９１０－１＋１０－９９有没有特征呢?如果对于任意自然数k,１０＋k＋１０＋１０２－k１０－k＋１０－１０２－k是一个确定的值m,那么,根据等比性质(若ab＝cd＝m,则a＋cb＋d＝m)就可以知道原式的值也是m了．分析到这里,后面的过程就是水到渠成了．１０＋k＋１０＋１０２－k１０－k＋１０－１０２－k＝１０＋k＋１０＋k＋１０－k２１０－k＋１０＋k－１０－k２＝(２＋１)１０＋k＋１０－k１０＋k＋(２－１)１０－k．你能看出比值是多少吗?注意到１＝(２＋１)(２－１),于是(２＋１)１０＋k＋１×１０－k１０＋k＋(２－１)１０－k＝(２＋１)１０＋k＋(２＋１)(２－１)１０－k１０＋k＋(２－１)１０－k＝２＋１．回到题目,问题解决这里有一个细节,中间项无法配对,可以单独计算１０＋５０１０－５０＝２＋２２－２＝３＋２２＝２＋１．根据等比性质可知,原式＝２＋１．Section４继续思考,再一般化终于做完了!不要着急休息,我们可以继续前行,利用直觉猜测,是不是n＋１＋n＋２＋􀆺＋n＋n２－１n－１＋n－２＋􀆺＋n－n２－１＝２＋１呢?我们看到,当n＝１０时,就是原题．如果在解题的最初,你就这样大胆设想了,那么,我们就可以有一种新的解题策略:从简单入手!我们可以先试试,当n＝２时,是否２＋１＋２＋２＋２＋３２－１＋２－２＋２－３＝２＋１呢?当你看到,熟悉的２＋３时,是否会灵感突发呢?大家可以课下尝试．三、总结与说明好!这道题就讲到这里．实事求是的讲,这道题目非常困难．我想通过这道题的分析,说明三个观点:一个道理:天才要靠勤奋,直觉来源于经验．也就是说,题不能少做．一个建议:不能搞浅层的题海战术,关键是深入的思考．也就是说,有时候宁可少做题,也要多思考．一个信念:困难总是暂时的,只要你愿意想,办法总会有的．最后,给大家念一首词«忆江南———怎样解题»:“相识否?变形未知数!分解条件走两步,简单入手—３—第６期(总第６期)解　题　研　究２０１４年９月画张图．记得采蘑菇．”本节课的题目基本上是按照这首词的思想解决的．对这首词的详细分析,大家可以在进入深中之后,关注我的专题讲座．如果大家还有什么要求和疑问,可以给我发邮件．希望同学们能够不虚此行,更希望能够与大家一起,给“深中人”这个闪亮的名字增添新的辉煌!谢谢!编者按:本文作者张建强,奥林克匹高级教练员,曾执教于河北省唐山市第一中学,所带学生肖伊康于２０１０年荣获第５１届国际数学奥林匹克竞赛金牌,于２０１３年９月调入深圳中学．本节课是张老师在“深圳中学社会分享课程”上讲的内容,该课程面向深圳的优秀初中生,特别是怀揣深中梦想的学子,时长３０分钟．张老师在设计内容时主要考虑了下面３个因素:(１)学生的需求．学生想要了解深中教师的水平和教学理念,了解与其他同类学校的不同之处;(２)学生的实际水平．他们有根式运算的经验,但是缺少深入思考的机会．(３)个人对解题教学的思考,希望能够让学生学会解题,但他们不会看大部头的教学理论,所以,应该将之结合在实际解题之中．圆锥曲线的几个定点问题何万程引理１　点(x０,y０)是非退化二次曲线ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f＝０上的一点,则二次曲线ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f＝０与直线y－y０＝k(x－x０)的交点除(x０,y０)外的另一交点是－ax０－by０－d－(２cy０＋e)k＋cx０k２a＋bk＋ck２,－ay０＋(２ax０＋d)k＋(bx０＋cy０＋e)k２a＋bk＋ck２æèçöø÷．证明　把y＝y０＋k(x－x０)代入下式,因式分解,得(ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f)－(ax２０＋bx０y０＋cy２０＋dx０＋ey０＋f)＝(x－x０)((a＋bk＋ck２)x＋ax０＋by０＋d＋(２cy０＋e)k－cx０k２),所以不是交点(x０,y０)外的另一交点横坐标是x＝－ax０－by０－d－(２cy０＋e)k＋cx０k２a＋bk＋ck２,再代入y＝y０＋k(x－x０)求得纵坐标是y＝－ay０＋(２ax０＋d)＋(bx０＋cy０＋e)k２a＋bk＋ck２．类似方法可求得:点(x０,y０)是二次曲线ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f＝０上的一点,则二次曲线ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f＝０与直线x＝x０的交点除(x０,y０)外的另一交点是(x０,－bx０＋cy０＋ec)．定理１　点A(x０,y０)是非退化二次曲线ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f＝０上的一定点,点B、C是二次曲线ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f＝０