第四章--实变函数

1习题4.21．设A是]1,0[E中的不可测集，,\]1,0[,;,)(AxxAxxxf证明：（1）Ra，),(]|[|aEafE；（2）当A0时，AfE]0[；当A0时，}0{\]0[AfE.试问：f与||f在E上是否可测？证明（1）因为Ex，有xxf)(||，所以Ra，有),(},:{]|[|aEaxExxafE.（2）由定义知0)0(f。若A0，则}0{\0)(Axxf；若A0，则Axxf0)(.所以（2）成立.由（1）知f在E上可测.因为A是不可测集，所以}0{\A也是不可测集。从而，由（2）知f在E上不可测。2．证明：若函数f在可测集1E及2E上可测，则函数f在21\EE与1E2E上也可测．证明因为f在12,EE上可测，所以12,[],[]aREfaEfa可测，从而1212()[][][]EEfaEfaEfa可测。因此，f在12EE上可测。因为1212(\)[][]\[]EEfaEfaEfa，可测，所以f在12\EE上可测.3．证明：若函数fR),(:ba在任意闭区间),(],[baa上可测，则f在开区间),(ba上可测．证明因为111(,)[,]nababnn，其中11[,](,)ababnn，又由题意知：f在每一个11[,](1,2,)abnnn上可测，所以由定理4.2.6知：f在111[,](,)nababnn上可测.4．证明：点集nSR的特征函数S在可测集nER上可测当且仅当SE是可测集．证明因为,,0;,1)(SxSxxS所以Ra有,1[],01,0.saExaESaEa，，充分性.若ES是可测集，则对任意的aR,[]sEa可测，所以s在E上可测.必要性.设s在E上可测，则对任意的aR,[]sEa可测。特别地，对于01a，[]sEa也是可测的。由于[]sEaES，所以ES可测.5．证明：],[ba上连续函数列的极限函数是可测函数．证明由可测集上的连续函数是可测函数可知：],[ba上的连续函数列是可测函数列，2故由定理4.2.8（可测集上的可测函数列的极限是可测函数)知原命题成立.6．证明：函数f在可测集E上可测的充要条件是对任一有理数r，点集][rfE可测．证明充分性.假设对任意的Qr,[]Efr可测.设Rr，记nr是大于r的一切有理数构成的序列，则有1[][]nnEfrEfr.由于每个[]nEfr是可测的，所以[]Efr是可测的。因此，f是E上的可测函数.必要性.显然.7．设f是可测集E上的可测函数，证明：对任意Ra，][afE可测．证明由题意知对任意的,[]aEfaR可测，且[]Efa可测，而[][]\[]EfaEfaEfa，故[]Efa可测.8．设f是可测集E上的函数，且对任意Ra，][afE可测．试问：函数f一定在E上可测吗？解不一定可测.例如，在可测集[0,1]E上取一个不可测子集1E使其不含0.作函数11,;(),\.xxEfxxxEE显然，对于任意Ra，][afE为空集或单点集，从而可测。但因1[0]EfE不可测，所以f不是E上可测函数。9．证明：若函数f在可测集E上可测，则3f在E上也可测，反之亦真．证明设f在可测集E上可测,则对任意的,[]aEfaR可测，从而][][313afEafE可测.反之，设3f在可测集E上可测,则对任意的3,[]aEfaR可测，特别的33[]Efa可测.于是，][][33afEafE可测.所以，f在可测集E上可测。10．证明：若函数f在E上可测，则2f在E上可测，反之成立吗？证明因为当0a时，有2[][][]EfaEfaEfa；当0a时，有2[]EfaE，所以当f在E上可测，则2f在E上可测.反之不成立.如函数1,;()1,[0,1]\,xAfxxA其中]1,0[A为不可测集。11．证明：若),2,1(kfk在E上非负可测,则和函数)()()(1Exxfxfkk在E上可测．证明根据可测函数的运算性质知:)(xFn1()nkkfx在E上可测（,2,1n）.{()}nFx为E上的可测函数列，且对任一Ex，有1lim()()()nknkFxfxfx.又由可测函数列的极限函数是可测函数知1()()lim()knnkfxfxFx在E上可测.3习题4.31.证明：若函数列}{nf在E上几乎处处收敛于f且gf~，则}{nf在E上几乎处处收敛于g.证明由{}nf在E上几乎处处收敛于f可知：存在子集1EE使得10mE，且1lim()()(\)nnfxfxxEE，又由于gf~与E，则存在2EE使得2m0E，且2()()(\)fxgxxEE.令012EEE,则有0m0E,且当0\xEE时，有lim()()nnfxfx与()()fxgx同时成立.故有0lim()()(\)nnfxgxxEE.因此，}{nf在E上几乎处处收敛于g.2.设),2,1(sin)(nxxfnn，证明：}{nf在R上几乎处处收敛于0．证明显然，当1|sin|x时，)(0sin)(nxxfnn.所以}:2{}1|sin:|{}0)(lim:{Zkkxxxfxnn.由于}:2{Zkk是可数集，所以为零测度集.从而，0}0)(lim:{mxfxnn.故}{nf在R上几乎处处收敛于0．证毕.3．设非负可测函数列}{nf与}{ng在E上几乎处处收敛于f与g，证明：}{nngf在E上几乎处处收敛于gf.证明由题意知：存在1EE使得1m0E,且1lim()()(\)nnfxfxxEE,存在2EE使得2m0E,且2lim()()(\)nngxgxxEE.令012EEE,则当0\xEE时，有lim()()nngxgx与lim()()nnfxfx同时成立.因此，当0\xEE时，有()()()()nnfxgxfxgx()()()()nnfxfxgxgx0,所以，}{nngf在E上几乎处处收敛于gf.4.设可测函数列}{nf在E上几乎处处收敛于f，证明：|}{|nf在E上几乎处处收敛于||f.证明由}{nf在E上几乎处处收敛于f可知:存在0EE使得0m0E,且0lim()()(\)nnfxfxxEE.于是，0\EEx，有)(0|)()(|||)()(||nxfxfxfxfnn。因此，{}nf在E上几乎处处收敛于||f.习题4.41．证明：设f与),2,1(nfn都是可测集E上的几乎处处有限的可测函数，则ffn于E当且仅当对任意0，有0]|[|mlimffEnn．证明必要性.若ffn于E,则对于任意的0，有limm[]0nnEff.因为[][]nnEffEff.所以有40m[]m[]nnEffEff,因此0limm[]limm[]nnnnEffEff=0。故limm[]0.nnEff充分性.假设对于任意的0，有0]|[|mlimffEnn.则对于任意的0，则对任一正整数N，有1limm[]0nnEffN.又由于1[][]nnEffEffN,可知01limm[]limm[]nnnnEffEffN0。因此，limm[]0.nnEff故由依测度收敛的定义知Enff.2．若ffn于E，证明：||||ffn于E．证明因为nnffff,所以对于任意的0，有[][],nnEffEff因此0m[]m[].nnEffEff又因为ffn于E,所以，limm[]0,nnEff因此有limm[]0.nnEff故||||ffn于E．3．设..eaffn于E，且gfn于E，证明：在E上gf~．证明因为gfn于E,所以由Riesz定理知:存在子列}{knf在E上几乎处处收敛于g.所以存在零测度集EE1使得)\)()(()(1EExkxgxfkn.由于nff..ae于E，所以存在零测度集EE2使得)\)()(()(2EExnxfxfn.从而,)\)()(()(2EExkxfxfkn.令210EEE,则0m0E且0\EEx,有))(()(kxfxfkn,))(()(kxgxfkn.由极限的唯一性知:)\)(()(0EExxgxf,因此()()fxgx..ae于E.4．设ffn于E且),2,1)(()(nxgxfn在E上几乎处处成立，证明：)()(xgxf在E上几乎处处成立．证明令01[]nnEEfg，则0m0E，且0\xEE有0()()(\)nfxgxxEE.因为ffn于E,所以由Riesz定理知：()()()infxfxi..ae于E.从而,存在零测度集EE1使得)\)()(()(1EExixfxfin.令1'00EEE，则0m0E且50\EEx,有)1)(()(ixgxfin且()()()infxfxi.从而()()fxgx.所以()()fxgx..ae于E.5．设f与),2,1(nfn都是可测集E上的几乎处处有限的可测函数，且22ffn于E，证明：若0|)(|inf:xfaEx，则||||ffn于E.证明因为Ex，有axfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfnnnnn|)()(||)(||)()(||)(||)(||)()(||)(||)(|222222，所以0,有]|[]||||[22affEffEnn（,2,1n）.从而)(0]|[m]||||[m22naffEffEnn.这就证明了||||ffn于E.证毕.6．如果ffn于E且..)()(1eaxfxfnn于E),2,1(n，证明：}{nf在E上几乎处处收敛于f．证明因为ffn于E，所以由Riesz定理知：()()()infxfxi..ae于E.从而,存在零测度集EE1使得)\)()(()(1EExixfxfin.因为..)()(1eaxfxfnn于E),2,1(n,所以存在零测集EE2使得),2,1,\)(()(21nEExxfxfnn.令210EEE,则0m0E且对任意00\EEx有010()()nnfxfx(,2,1n)且00()()knfxfx()k.因此,0{()}nfx为单调增加的数列，且有子列0{()}knfx收敛于0()fx，所以0{()}nfx也收敛于0()fx.故}{nf在E上几乎处处收敛于f．7．设Em，f及nf),2,1(n都是E上的几乎处处有限可测函数，则函数列}{nf在E上依测度收敛于f的充分必要条件是：}{nf的任一子列}{inf都有子列{}ijnf在E上几乎处处收敛于f．证明充要性.若nff，则对于它的任一子列}{inf也依测度收敛于f.所以,由黎斯定理可知:存在子列()()ijnfxfx..ae于E()j.充分性.设}{nf的任意子列}{inf都有一子列{}ijnf满足：()()ijnfxfx..ae于E()j.以下用证明:nff于E.若不然,则存在0不满足limm[]0,nnEff于是存在正数0及子列{}{}innff使得),2,1(]|[|m0