函数列及其一致收敛性

§9.2函数项级数函数列及其一致收敛性一、函数列及其一致收敛性12(),(),,(),nfxfxfx设是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列.{()}(),1,2,.nnfxfxn记为或0xE设，10200(),(),,(),.nfxfxfx1、定义：2、函数列的收敛0{()}nxfx以代入得数列：0{()}nfxx若此数列收敛，则称在收敛，0{()}nxfx为的收敛点；0{()}nfxx若此数列发散，则称在发散，0{()}nxfx为的发散点；{()}{()}.nnfxEfxE若在数集上每一点都收敛，则称在数集上收敛§9.2函数项级数函数列及其一致收敛性{()}{()}nnfxfx使收敛的全体收敛点的集合，称为的收敛域.3、函数列的极限的为则称有若对每一个)}({)(),()(lim,xfxfxfxfIxnnn极限函数，).()}({xfIxfn收敛于在区间或称)()}({xfIxfn收敛于在区间.|)()(|,,0xfxfNnNNIxn有，，对每一个例1.)1,0(,)(收敛证明其在设nnxxf,0lim),1,0(nnxx有证：要使不等式,0nx|0||)()(|nnxxfxf成立，]lnln[,lnlnxNxn取解得§9.2函数项级数函数列及其一致收敛性4、函数列的一致收敛，收敛于极限函数在区间设函数列)()}({xfIxfn,00NN，.|)()(|,,,xfxfIxNnNNn有).()}({xfIxfn一致收敛于极限函数在区间则称函数列)()}({xfIxfn非一致收敛于极限函数在区间.|)()(|,,000000xfxfIxNnn有,0若例2.)1,0(,1)(收敛证明其在设xnxfn,01lim),1,0(xnxn有证：要使不等式,0xn1|01||)()(|xnxfxfn成立，]1[,1Nn取解得n1§9.2函数项级数函数列及其一致收敛性例3()nnfxx证明：函数列一致收敛；在区间)10](,0[)1.)1,0[)2非一致收敛在区间,0lim),1,0[nnxx有证：{}[0,1)()0.nxfx即函数列在的极限函数要使不等式],,0[,0)1x|0||)()(|nnxxfxfnxn成立，]lnln[,lnlnNn取解得.|0|],,0[,,]lnln[,0nxxNnNN有于是，.)10](,0[}{一致收敛在区间即函数列nx§9.2函数项级数函数列及其一致收敛性有),1,0[)31(,,,031)201000nxNnNN.31])31[(|)()(|0100000nnnxfxf.)1,0[}{非一致收敛在区间即函数列nxOyx()yfx()nyfxba()yfx()yfx()()nfxfx函数列一致收敛于的的所有曲线()yfx都落在曲线与()yfx所夹的带状区域内.()(),nyfxnN0,NNN,对于序号大于几何意义：§9.2函数项级数函数列及其一致收敛性定理1(函数列的柯西一致收敛准则){()}nfx函数列|()()|.npnfxfx有一致收敛在区间I,,,,,0IxNpNnNN定理2)()}({xfIxfn一致收敛于极限函数在区间函数列lim{sup|()()|}0.nnxIfxfx注柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么,只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致收敛.§9.2函数项级数函数列及其一致收敛性)()}({xfIxfn一致收敛于极限函数在区间函数列证：必要性|)()(|,,,,0xfxfIxNnNNn有即sup|()()|.nxIfxfxlim{sup|()()|}0.nnxIfxfx即充分性lim{sup|()()|}0.nnxIfxfx|)()(|sup,,,,0xfxfIxNnNNnIx有即|)()(|,xfxfIxn有)()}({xfIxfn一致收敛于极限函数在区间函数列§9.2函数项级数函数列及其一致收敛性方法：放大，即放大到先求极限函数，一般将|)()(|xfxfnn只含有且容易求极限的时候，当不容易放大时，可转而.求最大值)()}({xfIxfn非一致收敛于极限函数在区间函数列lim{sup|()()|}0.nnxIfxfx的一致收敛性：，间、判别下列函数列在区例1]0[4}1){1xnnxxnnxxn1lim],1,0[有解：x.)(xxf即极限函数§9.2函数项级数函数列及其一致收敛性})1(){2nxnx|1||)()(|xxnnxxfxfnxnxx1)1(n12[0,1]2sup|()()|.1nxfxfxn[0,1]lim{sup|()()|}0.nnxfxfx显然，.1]0[}1{一致收敛，在区间函数列xnnxnnxnxx)1(lim],1,0[有解：0.0)(xf即极限函数nnxnxxfxf)1(|)()(|)(x设]1,0[x§9.2函数项级数函数列及其一致收敛性必有最大值连续，在]1,0[)(x)1()1()(1nxxxnxn111,0)(nx和得稳定点令,0)0(,0)1(,)111()11(1nnn1)111(]1,0[)(nnx的最大值是在[0,1][0,1]lim{sup|()()|}lim{sup()}nnnxxfxfxx11lim(1)1nnn01e.]1,0[})1({非一致收敛在区间函数列nxnx