2018届高三数学一轮复习-第二章-函数-第五节-指数与指数函数-文

文数课标版第五节指数与指数函数1.指数幂的概念(1)根式的概念教材研读根式的概念符号表示备注如果①xn=a,那么x叫做a的n次方根n1且n∈N*当n为奇数时,正数的n次方根是一个②正数,负数的n次方根是一个③负数 零的n次方根是零当n为偶数时,正数的n次方根有④两个,它们互为⑤相反数± 负数没有偶次方根nana(2)两个重要公式 = ( )n=⑨a(注意a必须使 有意义).nnaa,,a(0),||;a(0),naana⑥　　为奇数⑦　　为偶数⑧　　nana2.有理数指数幂(1)分数指数幂的表示(i)正数的正分数指数幂: =⑩ (a0,m,n∈N*,n1).(ii)正数的负分数指数幂: =  =  (a0,m,n∈N*,n1).(iii)0的正分数指数幂是 0,0的负分数指数幂无意义.(2)有理数指数幂的运算性质(i)aras= ar+s(a0,r,s∈Q).mnamnamna1mna1mna(ii)(ar)s= ars(a0,r,s∈Q).(iii)(ab)r= arbr(a0,b0,r∈Q).3.指数函数的图象与性质a10a1图象  定义域 R值域 (0,+∞)性质过定点 (0,1)当x0时, y1;当x0时, 0y1当x0时, 0y1;当x0时, y1在(-∞,+∞)上是 单调增函数在(-∞,+∞)上是 单调减函数 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1) 与( )n都等于a(n∈N*). (×)(2)当n∈N*时,( )n总有意义. (×)(3)分数指数幂 可以理解为 个a相乘. (×)(4)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数. (√)(5)若aman(a0且a≠1),则mn. (×) nnana3nmnamn1.计算[(-2)6 -(-1)0的结果为 ()A.-9B.7C.-10D.912]答案B原式= -1=23-1=7.故选B.16222.化简 (x0,y0)得 ()A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y答案D∵x0,y0,∴4 =(16x8·y4 =1 ·(x8 ·(y4 =2x2|y|=-2x2y.84416xy8416xy14)14614)14)3.函数f(x)=3x+1的值域为 ()A.(-1,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1)D.[1,+∞)答案B∵3x0,∴3x+11,即函数f(x)=3x+1的值域为(1,+∞).4.函数f(x)=2|x-1|的大致图象是 () 答案B当x≥1时,f(x)=2x-1;当x1时,f(x)=21-x,选B.5.当a0且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点.答案(2,-2)解析令x-2=0,则x=2,此时f(x)=1-3=-2,故函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点(2,-2).6.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为.答案(2,3)解析∵f(x)=(a-2)x为减函数,∴0a-21,即2a3.考点一指数幂的化简与求值典例1化简下列各式:考点突破(1) +2-2× -(0.01)0.5;(2)  ·b-2·(-3 b-1)÷(4 ·b-3 ;(3) .解析(1)原式=1+ × - =1+ × - =1+ - = .(2)原式=-  b-3÷(4 ·b-3 0325121245613a12a23a12)21111332256()ababab14124912110014231101611016155216a23a12)=-  b-3÷(  )=-  · =- · =- .(3)原式= = · = .5416a13a32b5412a32b5431ab254abab111133221566ababab111326a115236b1a易错警示(1)指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一化为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.1-1 +(0.002 -10×( -2)-1+( - )0=.答案- 解析原式= + - +1= +50 -10( +2)+1= +10 -10 -20+1=- .2327812)5231679232781215001052238271205495516791-2 ÷ · =.答案a2解析原式= ÷ · = ( -2 )· · = ·a· =a2.413322333842aabbaba2332baa2353aaaa111333331111223333[()(2)]()2(2)aabaabb11332aba2132111352()()aaaa13a13a13b11332aab5616aa13a23a考点二指数函数的图象及应用典例2(1)函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 () A.a1,b0B.a1,b0C.0a1,b0D.0a1,b0(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.答案(1)D(2)[-1,1]解析(1)由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax图象的基础上向左平移得到的,所以b0,故选D.(2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1≤b≤1. 方法技巧(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到的.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.变式2-1若将本例(2)中的条件改为若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,求b的取值范围.解析曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由图象可得,b的取值范围是(0,1). 变式2-2若将本例(2)改为函数y=|2x-1|在(-∞,k]上单调递减,求k的取值范围.解析因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-∞,0],所以k≤0,即k的取值范围为(-∞,0].变式2-3若将本例(2)改为直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0且a≠1)的图象有两个公共点,求a的取值范围.解析y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位,再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的.当a1时,如图1,两图象只有一个交点,不合题意;当0a1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则02a1,得到0a . 12综上可知,a的取值范围是 .10,2考点三指数函数的性质及应用典例3(2017福建南平模拟)已知a= ,b= ,c= ,则a、b、c的大小关系是 ()A.cabB.abcC.bacD.cba答案D解析由指数函数y= 的性质及- - ,可得a= b= 1,由指数函数y= 的性质及- 0可得c= 1,∴cba,故选D.13351435343235x13141335143532x343432方法技巧指数式值的大小比较的常见类型:同底不同指数;同指数不同底;底和指数均不相同.指数式值的大小比较的常用方法:(1)化为相同指数或相同底数后利用相应函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量(0或1等).3-1(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a0,且a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=.答案- 解析①当a1时,f(x)在[-1,0]上单调递增,则 无解.②当0a1时,f(x)在[-1,0]上单调递减,则 解得 ∴a+b=- .32101,0,abab100,1,abab1,22,ab323-2已知函数f(x)= .(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.24313axx解析(1)当a=-1时,f(x)= ,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y= 在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).24313xx13t