四轴飞行器动力学分析与建模

四翼飞行器动力学分析与建模1.引言四轴飞行器，又称四旋翼飞行器、四旋翼直升机，简称四轴、四旋翼。这四轴飞行器(Quadrotor)是一种多旋翼飞行器。四轴飞行器的四个螺旋桨都是电机直连的简单机构，十字形的布局允许飞行器通过改变电机转速获得旋转机身的力，从而调整自身姿态。因为它固有的复杂性，历史上从未有大型的商用四轴飞行器。近年来得益于微机电控制技术的发展，稳定的四轴飞行器得到了广泛的关注，应用前景十分可观。本章通过分析四旋翼直升机的动力学机制，运用已知的物理定律和方程来建立表征系统动态过程的数学模型。2.四旋翼飞行器简介2.1四旋翼飞行器结构四旋翼直升机主体构成有：产生升力的四个旋翼、飞行控制设备及其支撑旋翼的机身。有时为了保护飞行器，避免旋翼的损坏，特别装设了保护架。其中，每个旋翼包括直流电机、翼翅及连接件等部分。如下图所示：2.2四旋翼飞行器飞行原理四旋翼直升机与传统的直升机相比，有着自己独特的地方。它的四个呈十字平均分布的旋翼取代了传统的单独的旋翼，对机身产生单独的力和力矩。四旋翼直升机通过改变旋翼转速来控制飞行器的姿态，且四个旋翼的动态特性高度耦合。3.四旋翼飞行器动力学方程3.1坐标描述及其转换关系飞机的姿态角、飞行速度的大小和方向等参数总是和坐标系联系在一起的，要确切地描述飞机的运动状态，就要先建立适当的坐标系。下面定义几种坐标系，并分析各坐标之间的相互转换关系：(1)地面坐标系E（OXYZ）地面坐标系用语研究飞机相对于地面的运动，确定飞机在空间的位置坐标X、Y、Z，从而方便研究飞机的姿态、航向以及飞机相对起飞点的空间位置。该坐标系原点固定于地面上飞机的起飞点，OX轴指向飞机制定的飞行方向，OZ轴垂直水平面向上，OY轴垂直OXZ平面。(2)机体坐标系B（Oxyz）机体坐标系固定在机体上，原点设在飞机重心，纵轴Ox平行于前后旋翼的连线，指向前方为正方向，竖轴Oz平行于左右旋翼的连线，指向右方为正方向；轴Oy与轴Ox、Oz所在平面垂直，并与轴Ox、轴Oz组成右手坐标系。(3)地面坐标系和机体坐标系的转换在飞机飞行动力学中，对于描述地面坐标系和机体坐标系之间的关系的角度可用如下定义的三个欧拉角加以确定。偏航角ψ——机体轴Ox在地面坐标系水平面OXY上的投影线X’与X轴之间的夹角俯仰角θ——机体轴Ox与地面坐标系水平面OXY的夹角滚转角Φ——机体轴Oz和包含机体轴Ox间的夹角由此可得到物体坐标系到地面坐标系各个轴的转换矩阵，分别表示为(2-1)式、(2-2)式和(2-3)式Rx=[1000𝑐𝑜𝑠𝛷𝑠𝑖𝑛𝛷0𝑠𝑖𝑛𝛷𝑐𝑜𝑠𝛷](2-1)Ry=[𝑐𝑜𝑠𝜃0𝑠𝑖𝑛𝜃010−𝑠𝑖𝑛𝜃0𝑐𝑜𝑠𝜃](2-2)Rz=[𝑐𝑜𝑠𝜓−𝑠𝑖𝑛𝜓0𝑠𝑖𝑛𝜓𝑐𝑜𝑠𝜓0001](2-3)综合可得机体坐标系B到地面坐标系E的转换矩阵为：R=RzRyRx=[𝑐𝑜𝑠𝜓𝑐𝑜𝑠𝛷𝑐𝑜𝑠𝜓𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝛷𝑐𝑜𝑠𝜓𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝛷+𝑠𝑖𝑛𝜓𝑠𝑖𝑛𝛷𝑠𝑖𝑛𝜓𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜓𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝛷𝑠𝑖𝑛𝜓𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝛷−𝑐𝑜𝑠𝜓𝑠𝑖𝑛𝛷−𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝛷𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝛷](2-4)得到如下图所示坐标系：3.2动力学方程的建立3.2.1模型假设1)飞机是刚体，在其运动过程中质量保持不变2)地面坐标系为惯性坐标，由于本文针对微型飞机，飞行距离不是很遥远，飞行高度不是很高，所以视地球表面为平面，视重力加速度不随飞行高度的变化而变化3)不计地球自转和公转运动的影响4)机体坐标系的xoz平面为飞机几何形状和质量的对称平面，惯性积Ixy=Iyz=03.2.2模型建立在忽略弹性振动及形变的情况下，微小型四旋翼飞行器的运动可以看成是六个自由度的刚体运动，即包含绕三个轴的转动（偏航、俯仰和滚动）和重心沿三个轴的线运动（进退、左右侧飞和升降）。根据牛顿第二定律，飞机动力学方程的向量形式为：F⃗=𝑚𝑑𝑉⃗⃗𝑑𝑡(2-5)M⃗⃗⃗=𝑑𝐻⃗⃗𝑑𝑡(2-6)式中，F⃗——作用在四旋翼飞行器上的所有外力的和；M——飞机的质量；𝑉⃗——飞机的质心速度；M⃗⃗⃗——作用在飞机上的所有外力矩的和；𝐻⃗⃗——飞机相对于地面坐标系的绝对动量矩。假设FX、FY、FZ；u、v、w；p、q、r分别为F⃗、𝑉⃗、𝜔⃗⃗在机体坐标系三个坐标轴ox、oy、oz上的分量。1）线运动方程：作用在四旋翼直升机机体上的外力有重力，四个旋翼的升力和外界的阻力。重力可以表示为：G=mg(2-7)阻力可以表示为：Di=12ρCdωi2=kdωi2(2-8)每个旋翼产生的升力为：Ti=12ρCtωi2=ktωi2(2-9)其中g为重力加速度，ρ为空气密度，Cd为旋翼的阻力系数，Ct为旋翼的升力系数，通常他们的值取决于飞机的运动状态和构型，大气参数等诸多产量，ωi(𝑖=1,2,3,4)是第i个旋翼的角速度。由于上述各式是在地面坐标系下建立的，通过转换矩阵R转换到机体坐标系下，并带入(2-5)式，可得到：{𝑥̇=𝑢𝑦̇=𝑣𝑧̇=𝑤𝑢̇=𝐹𝑥−𝐾1⋅𝑥̇𝑚=𝑘𝑡∑𝜔𝑖24𝑖=1(sin𝛹sin𝜙+cos𝛹sin𝜃cos𝜙)−𝐾1⋅𝑥̇𝑚𝑣̇=𝐹𝑦−𝐾2⋅𝑦̇𝑚=𝑘𝑡∑𝜔𝑖24𝑖=1(−cos𝛹sin𝜙+sin𝛹sin𝜃cos𝜙)−𝐾2⋅𝑦̇𝑚𝑤̇=𝐹𝑧−𝑚𝑔−𝐾3⋅𝑧̇𝑚=𝑘𝑡∑𝜔𝑖24𝑖=1(cos𝜃cos𝜙)−𝐾3⋅𝑧̇𝑚−𝑔(2-10)其中Ki为综合的阻力系数。2）角动量方程：欧拉角的角速度和机体的角速度之间有如下的关系：[pqr]=[𝜙̇−𝛹̇sin𝜃𝜃̇cos𝛷+𝛹̇sin𝜙cos𝜃𝜃̇sin𝛷+𝛹̇cos𝜙cos𝜃](2-11)由此可以解出：[𝛷̇𝜃̇𝛹̇]=[𝑝𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑞𝑠𝑖𝑛𝛷𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑟𝑐𝑜𝑠𝛷𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑞𝑠𝑖𝑛𝛷+𝑟𝑠𝑖𝑛𝛷𝑞𝑠𝑖𝑛𝛷+𝑟𝑐𝑜𝑠𝛷𝑐𝑜𝑠𝜃](2-12)四旋翼无人机外形结构和质量分布都具有较好的对称性，重心近似位于机体中心，因此可以假定无人机的惯性矩阵I为对角阵：I=(𝐼𝑥000𝐼𝑦000𝐼𝑧)(2-13)根据刚体转动定律可以得到角速度运动方程为：∑𝑀=𝐼[𝑝̇𝑞̇𝑟̇](2-14)根据动量矩的计算方法，仿照线运动方程的推导，可以得到角速度方程式：[𝑀𝑥𝑀𝑦𝑀𝑧]=[𝑝̇𝐼𝑥−𝑟̇𝐼𝑥𝑧+𝑞𝑟(𝐼𝑧−𝐼𝑦)−𝑝𝑞𝐼𝑥𝑧𝑞̇𝐼𝑦+𝑝𝑟(𝐼𝑥−𝐼𝑧)+(𝑝2−𝑟2)𝐼𝑥𝑧𝑟̇𝐼𝑧−𝑝̇𝐼𝑥𝑧+𝑝𝑞(𝐼𝑦−𝐼𝑥)+𝑞𝑟𝐼𝑥𝑧](2-15)其中Mx、My、Mz是四旋翼直升机的合力矩在机体坐标系三个坐标轴ox、oy、oz上的分量。整理可得：[𝑝̇𝑞̇𝑟̇]=[𝑀𝑥+(𝐼𝑥−𝐼𝑧)𝑞𝑟𝐼𝑥𝑀𝑦+(𝐼𝑧−𝐼𝑥)𝑟𝑝𝐼𝑦𝑀𝑧+(𝐼𝑥−𝐼𝑦)𝑝𝑞𝐼𝑧](2-16)综合以上分析，得到四旋翼直升机的非线性运动方程：{𝑥̇=𝑢𝑦̇=𝑣𝑧̇=𝑤𝑢̇=𝐹𝑥−𝐾1⋅𝑥̇𝑚𝑣̇=𝐹𝑦−𝐾2⋅𝑦̇𝑚𝑤̇=𝐹𝑧−𝑚𝑔−𝐾3⋅𝑧̇𝑚𝑝̇=𝑀𝑥+(𝐼𝑥−𝐼𝑧)𝑞𝑟𝐼𝑥𝑞̇=𝑀𝑦+(𝐼𝑧−𝐼𝑥)𝑟𝑝𝐼𝑦𝑟̇=𝑀𝑧+(𝐼𝑥−𝐼𝑦)𝑝𝑞𝐼𝑧𝛷̇=𝑝𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑞𝑠𝑖𝑛𝛷𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑟𝑐𝑜𝑠𝛷𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃̇=𝑞𝑠𝑖𝑛𝛷+𝑟𝑠𝑖𝑛𝛷𝛹̇=𝑞𝑠𝑖𝑛𝛷+𝑟𝑐𝑜𝑠𝛷𝑐𝑜𝑠𝜃(2-17)3.2.3模型的简化为了把四旋翼直升机非线性耦合模型分解成四个独立的控制通道，定义系统的控制输入量为：{𝑈1=𝐹1+𝐹2+𝐹3+𝐹4=𝑘𝑡∑𝜔𝑖24𝑖=1𝑈2=𝐹4−𝐹2=𝑘𝑡(𝜔42−𝜔22)𝑈3=𝐹3−𝐹1=𝑘𝑡(𝜔32−𝜔12)𝑈4=𝐹2+𝐹4−𝐹3−𝐹1=𝑘𝑑(𝜔12+𝜔22+𝜔32+𝜔42)(2-18)其中，U1垂直速度控制量，U2滚动输入控制量，U3俯仰控制输入量，U4偏航控制量。𝜔为各旋翼转速，F为各旋翼所受到的拉力。考虑外界条件时控制设计比较复杂，所以先研究室内或室外无风情况下直升机悬停和慢速飞行控制，这样就可以忽略阻力系数Ki，整理得到数学模型如下：{ẍ=(sinΨsinϕ+cosΨcosθcosϕ)U1mÿ=(−cosΨsinϕ+sinΨsinθcosϕ)U1mz̈=(cosθcosϕ)U1m−gϕ̈=lU2+θ̇Ψ̇(Iy−Iz)Ixθ̈=lU3+ϕ̇Ψ̇(Iz−Ix)IyΨ̈=lU4+ϕ̇θ̇(Ix−Iz)Iz(2-19)到目前为止，我们计算了飞行器的作用力，接下来计算扭矩。每个转子贡献一点关于机体z轴的扭矩。这扭矩是用来保持螺旋桨旋转和提供推力；它产生瞬时角加速度和克服了摩擦阻力。由流体动力学可以得到摩擦力为：221AvCFDD4.其中ρ是周围流体密度，A是参考面积（是螺旋桨的截面，而不是螺旋桨扫过的面积），CD是一个无量纲的常量。这样的近似尽管有些地方不太好，就我们而已，结果精度是足够好的。于是推出由摩擦力产生的扭矩：2222121bRACRAvCRDDD其中ω是螺旋桨的角速度，R是螺旋桨的半径，b是摩擦常数。注意到，我们已经假定所有的力作用于螺旋桨的末梢，这是当然不准确；然而，对我们而言唯一重要的结果是摩擦扭矩与角速度的平方成正比。我们有以z为轴的完整第i个电机的扭矩：MzIb2其中IM是电机关于z轴的转动惯量，是螺旋桨的角加速度，b是阻力系数。注意到，在稳态飞行(即不起飞或着陆)时0因为大部分时间的螺旋桨会维持恒定的（或几乎不变的）的推力而不会加速。因此，我们忽略了这一时期，对整个表达式简化：211iizb其中(−1)i+1项是正的如果第i个螺旋桨式顺时针转，否则为负。关于z的总扭矩是每个螺旋桨轴扭矩的和：24232221b在此基础上便可以对我们小组研究的课题进行讨论。4.四旋翼飞行器旋转过程中的受力分析四旋翼飞行器的旋转指的是飞行器绕自身中心轴进行旋转，而不改变其高度、位置等其他参数，在专业术语中称为偏航运动。四旋翼飞行器偏航运动可以借助旋翼产生的反扭矩来实现。旋翼转动过程中由于空气阻力作用会形成与转动方向相反的反扭矩，为了克服反扭矩影响，可使四个旋翼中的两个正转，两个反转，且对角线上的来年各个旋翼转动方向相同。反扭矩的大小与旋翼转速有关，当四个电机转速相同时，四个旋翼产生的反扭矩相互平衡，四旋翼飞行器不发生转动；当四个电机转速不完全相同时，不平衡的反扭矩会引起四旋翼飞行器转动。在图d中，当电机1和电机3的转速上升，电机2和电机4的转速下降时，旋翼1和旋翼3对机身的反扭矩大于旋翼2和旋翼4对机身的反扭矩，机身便在富余反扭矩的作用下绕z轴转动，实现飞行器的偏航运动，转向与电机1、电机3的转向相反。借助力矩之间的平衡，已经在3中提出的悬停原理，可以在保证飞行器高度保持不变的情况下进行偏航运动，进而达到旋转镜头的目的。5.四旋翼飞行器侧飞过程的受力分析做到悬停之后，四旋翼飞行器又如何前进呢?这需要力的方向发生变化，一定要有使其向前的力，如下图所示，在悬停的基础上增加后面翅膀的