2015A矩阵分析与计算试卷解答及评分标准1

2015年矩阵分析与计算试卷解答及评分标准一、（10分）设340120251A，求A的不变因子、初等因子，并写出A的Jordan标准形。解：行列式因子D1=1；D12=+1；D13=1,所以D2=1；D3=(2)(+1)2，所以不变因子d1=d2=1；d3=(2)(+1)2（6分）；初等因子为(2),(+1)2(8分)A的Jordan标准形为200011001AJ(10分)二、（10分）利用盖尔圆定理及特征值隔离法证明：矩阵2111917218A有三个互异实特征值。解：（1）写出A的行或列盖尔圆,但彼此不孤立。（4分）；（2）取D=diag(1,1,2),则A与B=D1AD特征值相同，B的三个行盖尔圆分别为|2|3,|9|3,|18|4.5,zzzB的三个盖尔圆彼此孤立，（8分），故各盖尔圆内有且仅有1个特征值，而B是实矩阵，而各盖尔圆均关于实轴对称，故特征值均是实的。（10分）三、（10分）用选列主元的Doolittle分解求解方程组32152113.51213x。解：系数矩阵A的选列主元的Doolittle分解为1003211003210012111/31004/32/30101212/31/41001/2LU。（6分）原方程组等价于1[533.5]TLUxPbb。解Ly=b1，得y=[5,4/3,1/2]’，…(8分);再解Ux=y,得x=[11/21]’…….(10分).四、（11分）（1）设矩阵A按模最大的特征值唯一，请写出近似其按模最大特征值及其相应特征向量的算法。（2）利用该算法计算101140118A按模最大特征值及特征向量的近似值：设初始向量v0=[111]T，迭代3次，保留4位小数。解:（1）假设按模最大特征值1，相应按模最大分量为1的规范特征向量为1，则以下迭代算公式给出了计算1及1的近似值的方法：(i)令k=0，任取适维非零向量v0：其按模最大分量（记作max(v0)）为1；(ii),1kkAvu(iii)k:=k+1,,/:),max(:kkkkkmuvum并返回(ii）。则当k时，mk1,且vk1。（5分）（2）利用以上公式，对所给初始v0迭代三次所得结果依次为u1=[2510]';m1=10;v1=[0.20000.50001.0000]';u2=[1.202.208.70];m2=8.7000;v2=[0.13790.25291.0000]';u3=[1.13791.14948.3908];m3=8.3908;v3=[0.13560.13701.0000]';三次迭代所得按模最大特征值及相应特征向量分别为maxm3=8.3908,1v3=[0.13560.13701.0000]'(11分)五、（20分）已知110131112,320113Ab，（1）求A的满秩分解；（2）求A的Moore-Penrose逆A；（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组Axb是否有解。有解时给出极小范数解，并说明它是所有解中范数最小的；无解时给出最小二乘解所满足的方程，给出极小范数最小二乘解，说明它是所有最小二乘解中范数最小的．解：(1)11101/21/211011/23/220A(5分);（分解不唯一，也可以是10110111021321A）(2)13114117411455110111A(9分)(3)224TAAbb,方程组无解；(11分)最小二乘解所满足的方程为Ax=AA+b，(13分)其极小范数最小二乘解为0128810217TxbA(15分)因为最小二乘解方程的通解为4(),xAbAAIyyR(17分)而对任意yR4,利用A+的特性，有222222()()()()THTHxAbAAIybAAAIyyAAIAb2222()()()()THHTAbAAIybAAAIyyAAIAb2222()()()THTAbAAIybAAAAyyAAAAb2222()AbAAIy22022,Abx且等号当且仅当(AA+I)y=0时才成立。(20分)六、（12分）对于如下线性方程组，321123101131x（1）写出求近似解的Gauss-Seidel迭代公式，并证明该迭代法是收敛的；（2）用Gauss-Seidel迭代公式计算近似解，设初始向量为x(0)=[000]T,迭代2次，结果用分数或小数（保留到小数点后第四位）表示。解：(1)该方程组的G-S-迭代为(1)()()(1)(1)()(1)(1)(1)12321331211112,2,1333kkkkkkkkkxxxxxxxxx(4)迭代矩阵1()GBDLU的特征方程同解于方程：det(())DLIU=0，即2(27162)0,迭代矩阵的三特征值为1238108100,,,2727显然所以(BG)1，所以G-S迭代收敛。(8分)（2）2次迭代值依次为(1)(2)1/30.333331/810.38272/90.2222;86/2430.3539;8/270.2963236/7290.3237xx(12分)七、（12）假设x及y分别是以下方程组的解，试估计解的相对误差11xyx。（保留到小数点后第四位。）20012.05001.0010212,02.021.012.00211211.021.012.021.001xy。解：系数矩阵A的逆矩阵为11/2001/62/31/31/31/32/3A（3分），A的相应于无穷范数的条件数为cond1(A)=||A||1||A1||1=3（6分）1111111111()1()xyAbcondAAxAbcondAA（9）30.070.0010.078510.073（12分）八、(15分)已知010001133A,求（1）Ate；（2）Atdedt解：（1）令()det(IA)(1)3,令etq(,t)()+a2(t)2+a1(t)+a0(t),则由(A)=0，得eAta2(t)A2+a1(t)A+a0(t)I；(5分)利用()的特性有：2210212()()(),2()(),2(),ttteatatatteatatteat解之得2222101(),()(),()(1/2),2tttatteattteattte(9分)2220122222022122221212101/2/233/21/238363/2312/2Attaaattttteaaaaaetttttaaaaaaatttttt（11分）（2）222222222/21/2/2312/212/23533/2Atttttttdeettttttdttttttt(15分)