类型三用数学归纳法证明整除问题

共57页1第十三章极限(理)共57页22012高考调研考纲要求1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2．了解数列极限和函数极限的概念．3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．4．了解连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．共57页3考情分析极限部分是中学数学与大学数学的重要衔接点之一，是近年高考理科数学的热点，涉及的相应试题难度不大，多以选择题和填空题的形态出现，常考知识点有判断极限是否存在、在极限存在时求其值、利用极限判断函数在给定点的连续性以及连续性的运用等，其中极限概念及其基本运算、函数连续性是考查重点．除此以外，与数学归纳法关联的“归纳——猜想——证明”是数学研究的一种常用科学方法与思维形式，是中学数学的基本方法之一．在近年高考中，多以数列型压轴题的形式出现．数学高考仍保持着上述特点，主要考查极限的概念与求法．另外，在福建、湖北、全国Ⅱ等试卷中出现的极限问题与二项式定理、数列等知识的综合，是高考关于极限考查的一个新趋势．共57页4第五十八讲数学归纳法及其应用共57页5共57页6回归课本1.归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法．2．数学归纳法先证明当n取第一个值n0时，命题成立，然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．共57页73．用数学归纳法证明了一个与正整数有关的命题的步骤是：(1)证明当n取第一个值n0时，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时，命题成立；证明当n＝k＋1时，命题也成立．在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对从n0开始所有正整数都成立．共57页8解析：边数为n的初始值为3.答案：C考点陪练1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步验证n等于()A．1B．2C．3D．0共57页9答案：C2．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)，那么n＝1时，f(n)为()A．1B.13C．1＋12＋13D．以上都不对解析：将n＝1代入f(n)中得f(n)＝1＋12＋13.共57页103．若把正整数按下图所示的规律排序，则从2007到2009的箭头方向依次为()A．↓→B．→↓C．↑→D．→↑解析：通过观察规律，可以发现其以4为周期变化，因此2007到2009的箭头规律与3到5的相同，故选C.答案：C共57页114．我们运用数学归纳法证明某一个关于正整数n的命题时，在由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中()A．必须运用假设B．可以部分地运用假设C．可不用假设D．应视情况灵活处理，A、B、C均可解析：由数学归纳法的步骤知，选A.答案：A共57页125．某个命题与正整数n有关，若n＝λ(λ∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝λ＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得()A．n＝6时，该命题不成立B．n＝6时，该命题成立C．n＝4时，该命题不成立D．n＝4时，该命题成立解析：考虑原命题的逆否命题，选C.答案：C共57页13共57页14类型一用数学归纳法证明等式问题解题准备：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式中n＝k和n＝k＋1时之间的联系．共57页15【典例1】对任意正偶数n，求证：1－12＋13－14＋…＋1n－1－1n＝21n＋2＋1n＋4＋…＋12n.[证明]①当n＝2时，等式左边＝1－12＝12，等式右边＝2×12×2＝12，∴左边＝右边，等式成立．②假设n＝2k(k∈N*)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝212k＋2＋12k＋4＋…＋122k成立．共57页16当n＝2k＋2(k∈N*)时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝212k＋2＋12k＋4＋…＋14k＋12k＋1－12k＋2＝212k＋4＋12k＋6＋…＋14k＋14k＋2＋14k＋4＋22k＋2－24k＋2－24k＋4＋12k＋1－12k＋2＝212k＋2＋2＋12k＋2＋4＋…＋122k＋2.∴对n＝2k＋2(k∈N*)等式成立．由①②知对一切正偶数n＝2k(k∈N*)等式成立．共57页17[点评](1)此题为数学归纳法证明问题的一种新题型，传统问题论证对连续的正整数成立，而这里变成对连续的正偶数成立．归纳假设为n＝2k，与它连续的是2k＋2，相当于由k到k＋1，应注意体会数学归纳法的这种变形使用，把它用活．(2)本题亦可假设n＝k(k为正偶数)成立，证明n＝k＋2成立．共57页18探究1：用数学归纳法证明：当n∈N*时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋……＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．证明：(1)当n＝1时，左式＝1·22－2·32＝－14，右式＝－1·2·7＝－14.等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立：即(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋……＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)]2＝－k(k＋1)(4k＋3)，共57页19则当n＝k＋1时(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋……＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[(4k2＋12k＋9)－(4k2＋6k＋2)]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)·(6k＋7)＝－(k＋1)(4k2＋15k＋14)＝－(k＋1)(k＋2)·(4k＋7)＝－(k＋1)[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]．∴当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)、(2)可知，等式对一切n∈N*都成立．点评：用数学归纳法证题的关键在第二步，而第二步的难点在于寻求命题为n＝k时和n＝k＋1时之间的联系．共57页20类型二用数学归纳法证明不等式问题解题准备：用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式，往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，再猜出从某个n值开始都成立的结论，最后用数学归纳法证明．共57页21[分析]用数学归纳法证明不等式，设第二步时，用上归纳假设后，还需应用证明不等式的一般方法(比较法、放缩法等)来证明．[证明](1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴左≥右，即命题成立【典例2】用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n2≥3n2n＋1(n∈N*)．共57页22(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k2≥3k2k＋1.那么当n＝k＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋12≥3k＋12k＋1＋1，只要证3k2k＋1＋1k＋12≥3k＋12k＋3.∵3k＋12k＋3－3k2k＋1－1k＋12共57页23＝1－k＋12k＋12[4k＋12－1]＝－kk＋2k＋124k2＋8k＋30，∴3k2k＋1＋1k＋12≥3k＋12k＋3成立，即1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋12≥3k＋12k＋1＋1成立．∴当n＝k＋1时命题成立．由(1)、(2)知，不等式对一切n∈N*均成立．共57页24点评：用数学归纳法证明不等式，关键是证明第二步．证明第二步时，当用上归纳假设后，如果不能直接证出来，常需再考虑证明不等式的一般方法，此时，特别要注意解题的目标意识．共57页25探究2：已知函数f(x)＝x＋3x＋1(x≠－1)．设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)，数列{bn}满足bn＝|an－3|，Sn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)．(1)用数学归纳法证明bn≤3－1n2n－1；(2)证明Sn233.共57页26证明：(1)当x≥0时．f(x)＝1＋2x＋11.∵a1＝1，∴an≥1(n∈N*)．下面用数学归纳法证明不等式bn≤3－1n2n－1①当n＝1时，b1＝3－1，不等式成立．②假设当n＝k时，不等式成立，即bk≤3－1k2k－1.又∵bk＋1＝|ak＋1－3|＝3－1|ak－3|1＋ak≤3－12bk≤3－1k＋12k.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①和②可知不等式对任意n∈N*都成立．共57页27点评：用数学归纳法证明不等式时，推证“k＋1”亦成立时是关键，证明不等式的一切方法，如比较法、分析法、综合法或收缩法等均可灵活地运用．(2)由(1)知bn≤3－1n2n－1，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn≤(3－1)＋3－122＋…＋3－1n2n－1＝(3－1)·1－3－12n1－3－12(3－1)·11－3－12＝233.故对任意n∈N*，Sn233.共57页28类型三用数学归纳法证明整除问题共57页29【典例3】用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N*)能被9整除．[分析]用数学归纳法证明整除问题，关键是在n＝k＋1时如何“凑”出归纳假设．[证明]证法一：令f(n)＝(3n＋1)7n－1.(1)f(1)＝(3×1＋1)×71－1＝27能被9整除．(2)假设f(k)(k∈N*)能被9整除，则f(k＋1)－f(k)＝[(3k＋4)·7k＋1－1]－[(3k＋1)·7k－1]＝9(2k＋3)·7k∴f(k＋1)＝f(k)＋9(2k＋3)·7k能被9整除．由(1)、(2)知，对一切n∈N*命题成立．证法二：(1)n＝1时，4×7－1＝27能被9整除．共57页30(2)若n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，则n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[(3k＋1)＋3](1＋6)·7k－1＝(3k＋1)·7k－1＋(3k＋1)×6×7k＋21×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27×7k，∴n＝k＋1时也能被9整除．由(1)、(2)知，命题对一切n∈N*都成立．点评：这两种证法的实质是相同的，第一种证法是用f(k＋1)－f(k)寻找f(k＋1)与f(k)的差，看这个差能否被9整除，而第二种证法是从f(k＋1)中凑出f(k)，然后再证余下的部分也能被9整除，第一种证法直截了当．共57页31探究3：用数学归纳法证明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．证明：在证明n＝k＋1成立时，为了利用上归纳假设，需对n＝k＋1时的式子进行添加项，配凑成n＝k时的形式．(1)当n＝1时，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2×1－1＝x2＋3x＋3，显然能被x2＋3x＋3整除，命题成立．(2)假设当n＝k时，命题成立，即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，那么当n＝k＋1时，(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋1)(x＋2)2k－1－(x＋1)(x＋2)2k－1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1共57页32＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x2＋3x＋3)·(x＋2)2k－1，因为(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1和x2＋3x＋3都能被x2＋3x＋3整除，所以上面的式子也能被x2＋3x＋3整除，即当n＝k＋1时命题成立．根据(1)、(2)可知，对任