解析几何课件(吕林根+许子道第四版)

解析几何课件(第四版)吕林根许子道等编第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面第五章二次曲线的一般理论第一章向量与坐标第三章平面与空间直线第二章轨迹与方程第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.3数乘向量§1.2向量的加法§1.4向量的线性关系与向量的分解§1.6向量在轴上的射影§1.5标架与坐标§1.7两向量的数性积§1.9三向量的混合积§1.8两向量的矢性积第二章轨迹与方程§2.1平面曲线的方程§2.2曲面的方程§2.4空间曲线的方程§2.3母线平行与坐标轴的柱面方程第三章平面与空间直线§3.1平面的方程§3.3两平面的相关位置§3.2平面与点的相关位置§3.4空间直线的方程§3.6空间两直线的相关位置§3.5直线与平面的相关位置§3.7空间直线与点的相关位置第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面§4.1柱面§4.3旋转曲面§4.2锥面§4.4椭球面§4.5双曲面第五章二次曲线的一般理论§5.1二次曲线与直线的相关位置§5.3二次曲线的切线§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线§5.4二次曲线的直径§5.6二次曲线方程的化简与分类§5.5二次曲线的主直径和主方向定义1.1.1既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.向量(矢量)既有大小又有方向的量.向量的几何表示：||a21MM||向量的模：向量的大小.或以1M为起点，2M为终点的有向线段.a21MM或两类量:数量(标量):可用一个数值来描述的量;有向线段有向线段的方向表示向量的方向.有向线段的长度表示向量的大小,1M2Ma§1.1向量的概念所有的零向量都相等.ab模为1的向量.零向量：模为0的向量.0单位向量：21MMeae或定义1.1.2如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为ba＝定义1.1.3两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量..BA互为反矢量与ABaa的反矢量记为aa零向量与任何共线的向量组共线.定义1.1.4平行于同一直线的一组向量叫做共线向量.定义1.1.5平行于同一平面的一组向量叫做共面向量.零向量与任何共面的向量组共面.abOAB这种求两个向量和的方法叫三角形法则.OBOA、OBOAOC定理1.2.1如果把两个向量为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量bacbacOBBOOABbABaOAOba的和，记做与叫做两矢量的矢量到另一端点，从折线的端点得一折线，接连作矢量为始点，以空间任意一点、设已知矢量定义,1.2.1§1.2向量的加法OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2向量的加法满足下面的运算规律：（1）交换律：.abba（2）结合律：cbacba)().(cba（3）.0)(aa法则推广求和相加可由矢量的三角形有限个矢量naaa,,21.,,,,,,,,12112121122111nnnnnnnnAAAAOAOAaaanaOAAAOAaAAaAAaOAO的和，即个矢量就是于是矢量由此得一折线开始，依次引自任意点OA1A2A3A4An-1An这种求和的方法叫做多边形法则向量减法)(babaabbbcbabac)(babaab.2.2.1bacbacacbacb的差，并记做与叫做矢量时，我们把矢量，即的和等于矢量与矢量当矢量定义1,.abc例设互不共线的三矢量与，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零矢量,,0,0abcABCABaBCbCAcABBCCAAAabc证必要性设三矢量，，可以构成三角形，即有，那么＋＋＝即0,,,0,.abcABaBCbACabACccACcCAabcABC充分性设，作那么所以从而是的反矢量，因此＝，所以，，可构成一个三角形ABC设是一个数，向量a与的乘积a规定为,0)1(a与a同向，||||aa,0)2(0a,0)3(a与a反向，||||||aaaa2a211.3.1,00..aaaaaaa定义实数与矢量的乘积是一个矢量，记做它的模是；的方向，当时与相同，当时与相反我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘§1.3数乘向量定理1.3.1数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：)()(aaa)(（2）第一分配律：aaa)(baba)(0.ababa设向量，那么向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使定理两个向量的平行关系（3）第二分配律：证充分性显然；必要性a‖b设,ab取取正值，同向时与当ab取负值，反向时与当ab.ab即有.同向与此时abaa且aab.b.的唯一性，设ab，又设ab两式相减，得，0)(a，即0a，0a，故0.即同方向的单位向量，表示与非零向量设aea按照向量与数的乘积的规定，aeaa||.||aeaa上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例1设AM是三角形ABC的中线，求证:证1()2AMABAC如图因为,AMABBMAMACCM2()(),AMABACBMCM所以但0,BMCMBMMB因而2AMABAC即1()2AMABACABCM(图1.11)例2用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N，那么MNANAM1122ACAB1()2ACAB12BC所以//MNBC且12MNBC.,,,,,,,,,,1.4.12122112121的线性组合叫做矢量所组成的矢量与数量由矢量定义nnnnnaaaaaaaaaa.,)14.1(01.4.1唯一确定被并且系数，＝的线性组合，即是线性表示，或者说可以用矢量线的充要条件是共与矢量，那么矢量如果矢量定理rexexrererere.共线矢量的基底称为用线性组合来表示这时e§1.4向量的线性关系与向量的分解.,,,24.1,,,,2.4.1212121212121唯一确定被并且系数）－（的线性组合，即可以分解成或者说向量线性表示，可以用向量共面的充要条件是与不共线，那么向量如果向量定理reeyxeyexreereereeree.,,,,,)34.1(,,,,,,,3.4.1321321321321321唯一确定被并且其中系数的线性组合，即可以分解成向量任意向量线性表示，或说空间可以由向量任意向量不共面，那么空间如果向量定理reeezyxezeyexreeereeereee.,21叫做平面上向量的基底这时ee例2证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,,321叫做空间向量的基底这时eee.,,,.,,,,,,,,3211321321321关系式线性表示的，，用先求取不共面的三向量就可以了三点重合下只需证两组对边中点分别为其余它的中点为线为的连的中点对边一组设四面体证eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD),(211AFAEAP连接AF，因为AP1是△AEF的中线，所以有又因为AF是△ACD的中线，所以又有),(21)(2132eeADACAF,21211eABAE而),(41)(2121213213211eeeeeeAP从而得)3,2(),(41321ieeeAPi同理可得321APAPAP＝＝所以.,,321三点重合，命题得证从而知PPP.,,,)44.1,0,,,,,,)1(2.4.12122112121关的向量叫做线性无关性相叫做线性相关，不是线个向量那么（＝使得个数在不全为零的，如果存个向量对于定义nnnnnaaanaaanaaann.0aa线性相关的充要条件为一个向量推论.线性相关量，那么这组向量必一组向量如果含有零向推论.5.4.1相关那么这一组向量就线性分向量线性相关如果一组向量中的一部定理.,,,24.4.121组合向量是其余向量的线性充要条件是其中有一个线性相关的时，向量在定理naaan.6.4.1是它们线性相关两向量共线的充要条件定理.7.4.1件是它们线性相关三个向量共面的充要条定理.8.4.1线性相关空间任何四个向量总是定理x横轴y纵轴z竖轴定点o空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向.§1.5标架与坐标Ⅶxyozxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ2、坐标面与卦限空间的点有序数组),,(zyx11特殊点的表示:)0,0,0(O),,(zyxMxyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点,A,B,C称为点M的坐标，x称为横坐标,y称为纵坐标，z称为竖坐标.),,(zyxM记为3、空间点的直角坐标xyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR),,(zyxMxyzoijk以kji,,分别表示沿zyx,,轴正向的单位向量.rOMrkzjyixr称为向量的坐标分解式.rN.,,kzORjyOQixOP设NMPNOPOROQOP4、空间向量的坐标显然，MOMrkzjyix),,(zyx向量的坐标：,,,zyx{,,}rxyz记为OMr向径：.,,kzjyix在三个坐标轴上的分向量：r(点M关于原点O)xyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR),,(zyxMrN),,(Mzyx既表示点5、利用坐标作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式{,,},xyzaaaa{,,},xyzbbbb{,,}xxyyzzabababab{,,}xxyyzzabababab{,,}xyzaaaa;)()()(kbajbaibazzyyxx;)()()(kbajbaibazzyyxx.)()()(kajaiazyx定理1.5.1向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐标。定理1.5.2两向量和的坐标等于两向量对应坐标的和。定理1.5.3数乘向量的坐标等于数与向量对应坐标的积。定理1.5.4两非零向量共线的充要条件是对应坐标成比例。定理1.5.5三个非零向量𝑎=𝑋1,𝑌1,𝑍1,𝑏=𝑋2,𝑌2,𝑍2,𝑐=𝑋3,𝑌3,𝑍3共面的充要条件是𝑋1𝑌1𝑍1𝑋2𝑌2𝑍2𝑋3𝑌3𝑍3=0解111{,,}AMOMOAxxyyzz222{,,}MBOBOMxxyyzz设),,(zyxM为直线上的点，例1设),,(111zyxA和),,(222zyxB为两已知点，而在AB直线上的点M分有向线段AB为两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数)1(，即MBAM，求分点坐标.ABMxyzo6、线段的定比分点坐标由题意知：MBAM111{,,}xxyyzz222{,,},xxyyzz1xx)(2xx1yy)(2yy1zz)(2zz,121xxx,121yyy,121zzzM为有向线段AB的定比分