Lecture-14--FIR滤波器设计-华工数字信号处理课件-DSP

1FIR数字滤波器设计主讲：薛洋[e-mail]14数字信号处理DigitalSignalProcessing2本讲主要内容概述及知识点回顾滤波器阶数确定FIR滤波器设计的窗函数法加窗的理论背景窗函数设计方法的一般步骤理想滤波器的冲击响应函数Gibbs现象与窗函数几种固定窗函数FIR滤波器设计方法3一、概述及知识点回顾4概述FIR滤波器的一般形式：线性相位FIR滤波器的几种类型：I型:h[n]对称，N为偶数II型:h[n]对称，N为奇数III型:…IV型:…概述56概述FIR滤波器都是稳定的不需借助模拟滤波器来进行设计FIR滤波器可以设计为线性相位在同等性能下，FIR滤波器阶数一般大于IIR滤波器阶数常用的两种设计方法：窗函数法频率抽样法：（不做要求）已知频率特性进行抽样后得到频率样本点进行iFFT得到滤波器的冲击响应函数7知识点回顾数字滤波器的主要指标)(jeGc11+p1-psps低通数字滤波器的典型幅度指标通带：0p阻带：sp:通带截止频率s:阻带截止频率Δ：过渡带宽p:通带波纹s:阻带波纹峰值通带波纹:最小阻带衰减:dBss10log20dBpp)1(log20108数字滤波器指标的另一种描述11/A211cps)(jeG归一化的数字低通滤波器幅度响应指标p:通带截止频率s:阻带截止频率Δ：过渡带宽通带幅度最大值为1通带最大幅度偏离：最大阻带幅度:211A19真实频率与归一化角频率的转换关系设FT为采样频率（Hz），Fp和Fs分别为通带和阻带截止频率（Hz），则归一化截止角频率为：TpTpppFFFT2TFFFFTsTsTsss22Q/A:T是什么？课本P39710二、确定滤波器阶数的几种方法11Kaiser方程例10.1：估计满足如下指标并具有线性相位的低通FIR滤波器的阶数。通带截止频率Fp=1.8kHz，阻带截止频率Fs=2kHz，峰值通带波纹，最小阻带衰减，抽样率为FT=12kHz。N=98.2730,取N=99.2/)(6.1413)(log2010psspN利用以下数字滤波器指标估计阶数N的最小值：归一化通带截止频率p归一化阻带截止频率s通带波纹p阻带波纹sdBp1.0dBpp)1(log2010dBss10log20dBs35Q/A:设计几型FIR滤波器满足要求？12Bellanger方程Bellanger方程:Hermann方程：例子：课本425例10.2.12/)(3)(log210pspsN2/)(]2/))[(()(2pspsspspFDNN=106.6525N=105.13913滤波器阶数估计方法比较仅提供所需滤波器阶数的一种估计，利用这些阶数估计值得到的FIR滤波器的频率响应不一定满足期望的指标；FIR滤波器的阶数N与过渡带宽度成反比，且不依赖于过渡带的实际位置；对于kaiser和Bellanger方程，滤波器的阶数依赖于乘积psps14三、FIR滤波器设计的窗函数法15窗函数法的理论依据期望滤波器频率特性为：nnjdjdenheH][)(ndeeHnhjjdd,)(21)(对应的冲击响应函数为：目标：目标是找一个长度为2M+1的有限冲激响应序列{ht[n]}，它的离散时间傅立叶变换在某种程度上逼近所求的离散时间傅立叶变换MMnnjtjtenheH][)()(jteH16最小均方误差设计一种常用的逼近准则是最小积分平方误差:deHeHjdjt2)()(21MMnnjtjtenheH][)(Parseval’s关系min][][][][][][112222MnMnddMMndtndtnhnhnhnhnhnh当-MnM时，，则积分平方误差最小，或者换句话来说，在均方误差准则下，理想无限长冲激响应的最佳和最简单的有限长逼近是通过截短（加窗）来得到的][][nhnhdt17窗函数法的一般步骤Step1:给定（or选择）所要求的滤波器频率响应函数；用iFFT得到单位冲击响应hd[n]如果根据理想滤波器来设计，这一步可以省略，例如根据理想低通滤波器来设计Step2:根据过渡带宽、最小阻带衰减等性能参数，查表选择窗函数w[n]；查表计算滤波器长度参数NStep3:求得所涉及到FIR滤波器的冲击响应：h[n]=hd[n]w[n]Step4:验证所求得到滤波器是否满足要求18理想滤波器的冲击响应ccjLPeH01)(nnnnhcLP,sin][0)sin(01][nnnnnhccHP0,)sin()sin(][12nnnnnnhccBP0)sin()sin(01][2112nnnnnnnhccccBS19理想L带数字滤波器理想L带数字滤波器HML(z)的零相位频率响应:,,2,1,,)(1LkAeHkkkjMLLandwhere00LllllMLnnAAnh11)sin()(][1234A1A2A3A4A520其它理想滤波器理想Hilbert变换器，也称为90度相移器00)(jjeHjHToddnfornnfornhHT2even0][0,)(jeHjDIF0cos00][nnnnnhDIF理想的离散时间差分器，用于在离散时间域上对连续时间信号的抽样值进行差分运算21Gibbs现象对于给定的理想滤波器的冲激响应系数进行简单截短，得到的因果FIR滤波器的幅度响应呈现振动的现象，通常称为Gibbs现象随着滤波器长度的增加，通带和阻带的波纹数增加，而波纹的宽度相应减小，但是在截止频率两边出现的最大波纹的高度仍然保持不变，它与滤波器的长度无关，并且近似等于理想滤波器通带和阻带幅度差的11%截短运算可以认为是将无限长冲激响应系数与一个有限长的窗序列w[n]相乘的结果产生Gibbs现象的原因解释：在频域研究加窗过程22Gibbs现象示例Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/23Gibbs现象解释Normalizedfrequency/][][][nwnhnhdtdeWeHeHjjdjt)()(21)()(w[n],N=21)(jeWotherwiseMnnw001][)2/sin()2/]12sin([)(MeeWMMnnjj矩形窗24Gibbs现象解释()()1()()2jtjjdHeHeWed25-0.40.4)(jdeH*N=61Normalizedfrequency/Normalizedfrequency/26矩形窗的频率响应)2/sin()2/]12sin([)(MeeWMMnnjjNormalizedfrequency/27矩形窗函数性质主瓣宽度定义为中心频率点=0两侧的两个最近的零值点之间的距离：4/(2M+1)，它决定了主瓣的性质。频率响应中的其他波纹成为旁瓣.随着M的增大，主瓣和旁瓣的宽度都随之减小。但是主瓣和旁瓣下的面积都保持不变。这表明随着M的增加，波纹的振幅没有减小当M增加到某一程度，主瓣非常窄，Ht(ej)将会很接近Hd(ej)，但这会增加运算的复杂度矩形窗在-MnM以外的范围有陡峭的下降沿，它是加窗理想滤波器冲激响应序列出现Gibbs现象的原因.Gibbs现象可以通过采用两边都逐渐平滑减少到零的窗函数，或从通带到阻带有平滑的过渡带的方法来减少。使用渐变的窗函数可以使旁瓣的高度减小，但使主瓣的宽度相应地增加，结果有可能在不连续点间出现了更宽的过渡带28四、几种固定窗函数FIR滤波器设计29Hann（汉宁）窗MnMMnnw)],122cos(1[5.0][wvtool(hann(64))30Hamming（汉明）窗MnMMnnw),122cos(46.054.0][wvtool(hamming(50))31Blackman（布莱克曼）窗MnMMnMnnw),124cos(5.080.0)122cos(5.042.0][wvtool(blackman(64))32Rectangular（矩形）窗otherwiseMnnw001][h=ones(1,64);wvtool(h);33窗函数的性能指标窗函数的性能取决于两个参数：主瓣宽度和相对旁瓣级相对旁瓣级最大旁瓣与主瓣的幅度差值（以dB为单位）主瓣宽度:主瓣两侧最近的两个零值点之间的距离最大通带偏移和最小阻带值之间的距离近似等于窗的主瓣宽度为了保证从通带快速过渡到阻带，窗函数应该有一个非常小的主瓣，另一方面，为了减小通带和阻带波纹，旁瓣下的面积也要求非常小。34窗函数作用与理想低通滤波器过渡带与窗函数长度的关系：过渡带：35窗函数作用后滤波器的特性Typeofwindows主瓣宽度相对旁瓣级别最小阻带衰减过渡带带宽(与M的关系)Rectangular4/(2M+1)13.3dB20.9dB0.92/MHann8/(2M+1)31.5dB43.9dB3.11/MHamming8/(2M+1)42.7dB54.5dB3.32/MBlackman12/(2M+1)58.1dB75.3dB5.56/M常见的固定窗函数的特性课本表10.236回顾：滤波器设计的步骤Step1:给定（or选择）所要求的滤波器频率响应函数；用iFFT得到单位冲击响应hd[n]如果根据理想滤波器来设计，这一步可以省略，例如根据理想低通滤波器来设计Step2:(1)根据最小阻带衰减参数，查表选择窗函数w[n]；(2)计算过度带宽；(3)利用过渡带宽查表计算滤波器长度参数MStep3:求得所涉及到FIR滤波器的冲击响应：h[n]=hd[n]w[n]（这一步在课本一些例题中省略了，但应该要有）Step4:验证所求得到滤波器是否满足要求这一步在书上例题没有特别强调例1：用加窗傅里叶级数法设计一个具有如下指标的阶数最低的线性相位FIR低通滤波器：30.p50.sdBs40解：1、由于最小阻带衰减为－40dB，因此可采用hanningwindow，hammingwindowandblackmanwindow。但又要求滤波器阶数最低，所以只能用hanningwindow。20.ps551520113113....M1616332150nnnw)],cos([.][Hanningwindow:402./)(pscnnnhLP).sin(][40MnMnwMnhnhLPLP20],[][][ˆ选择M＝162、3、38例2：高通滤波器的技术指标为：，，，请选择合适的窗函数，用窗函数法设计满足这些技术指标的阶数最小的线性相位FIR滤波器。7.0p6.0s01.0sp解：1、用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为-20log(0.01)=40dB，因此采用汉宁窗。1.06.07.0sp321