Lecture-8-Z变换

Z变换z-Transform主讲：薛洋[e-mail]第8讲数字信号处理DigitalSignalProcessing本讲主要内容Z变换基本概念有理Z变换Z变换收敛域逆Z变换Z变换的性质利用z变换来分析和表征LTI系统LTI系统的传输函数（系统函数）一、概念和性质什么是z变换？（1）Z变换是离散时间信号与离散时间系统分析与综合的重要工具，其作用相当于连续时间信号与系统的拉氏变换分析方法。Z变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。Z变换的定义:其中z为连续的复变量nnznxzX][)(jzre若时，即为离散时间傅立叶变换。这表明：DTFT其实就是在单位圆上进行的Z变换。1rjzeZ变换的概念（2）nnnjnjrnxFernxreXzX][][)()(可见：对做Z变换就等于对做DTFT。因此，Z变换是对DTFT的推广。][nxnrnx][0nngggggnrzzRzRRRzz变换收敛通常变换收敛域为环状变换在收敛域中为的连续函数Z变换的收敛域（ROC）Z变换与DTFT一样存在着收敛的问题。并非任何信号的Z变换都存在。并非Z平面上的任何复数都能使收敛。Z平面上那些能使收敛的点的集合，就构成了的ROC。若ROC包括单位圆，则的DTFT存在。()Xz()Xz()Xz例1.][][nuanxn101()1nnnXzazaz11az时，1a][][nunx11[]11Zunzz，注意：Z变换由代数表达式和收敛域两部分组成ROC:RegionofConvergence()Xz例子例2.][][1nuanxn11()nnnnnnXzazaz111111azazaz11zaza即1111aznuaZn][注意：Z变换需在指定其收敛域才能唯一对应一个序列例子（Cont.)例1和例2的零极点图和收敛域如下图所示：单位圆1ImReZ平面a例1假定10aa1ReZ平面单位圆Im例2例子（Cont.）ImReZ平面1x[n]=u[n]的ROC：此时，ROC不包括单位圆，所以不能从简单通过将得到。()Xzzje()jXeZ变换与Fourier变换的关系与傅立叶变换收敛的关系：1、序列x[n]的傅立叶变换当且仅当其z变换的收敛域包含单位圆时一致收敛并存在2、傅立叶变换存在不能推出z变换存在（收敛域包含单位圆）jezjzXeXQ/A:z平面单位圆如何与角频率对应？1,-1,j,-j对应的角频率分别是多少?zje()jXe一些常见的z变换对rzzrzrzrnunrrzzrzrzrnunrzznuzznuznzznznznzz2210100221010011cos21cossincos21cos1cos111111变换变换变换变换变换所有变换对常用二、有理z变换有理z变换本书LTI离散时间系统所涉及的z变换都是z的有理函数，表示为：NNNNMMMMMNNNMMdzdzdzdpzpzpzpzzdzdzddzpzpzppzDzPzG22110221102211022110或NllMllMNNllMllzzdpzzzdpzG110011110011个极点时，额外个零点，处有额外时，上式在当）称为极点（），称为零点（NMMNMNzMNpolezzerozll0小知识什么是有理数？什么是无理数？什么是有理函数？什么是无理函数？有理数可以表示为一个整数a和一个非零整数b的比的数；通常写作a/b。包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。如圆周率、2的平方根等零极点例子11zu[]=1z1zzZ=0处有零点；z=1处有极点极点：零点：例2：例1：-4-2024-4-2024-30-20-100102030Matlab示例[X,Y]=meshgrid(-4:0.15:4);Z=X+Y.*i;Fin=20.*log10(abs((Z.^2-2.4.*Z+2.88)./(Z.^2-0.8.*Z+0.64)));surf(X,Y,Fin);view(130,20)clf;x=linspace(-4,4,200);y=linspace(-4,4,200);[xx,yy]=meshgrid(x,y);z=xx+j*yy;H=(1-2.4./z+2.88./(z.^2))./(1-0.8./z+0.64./(z.^2));mesh(-xx,-yy,20*log10(abs(H)));-4-2024-4-2024-30-20-100102030三、z变换的收敛域有理Z变换的收敛域znnznznzznxznxzXotherwisennnnxnxnnnnnnnn00,00000,0012121212121时，，当时，，当时，当有界，收敛域为则有限和只要级数每一项收敛，、有限长序列cnnnRzznxzXnnnx收敛域为、右边序列1102xnnnRzznxzXnnnx收敛域为、左边序列2203收敛时，当第二项收敛域为，第一项收敛域为、双边序列zXRRRzRzznxznxznxzXxxxxnnnnnn410变换不存在的因此，，第二项收敛域为第一项收敛域为例：znuzzzzzUnunnnnnnn10例：][][][1221nununxnn10111()()221111212nnnnnnXzzzzz1ROC:22z21/2Z平面ImRe例子例：考虑单位脉冲序列的Z变换][nROC：除z＝0外的Z平面ROC：除z＝外的Z平面ROC：整个Z平面，即有理Z变换的收敛域•ifX(z)是有理的，且x[n]是左边序列，thenROC位于Z平面内最里层非零极点的里边；•ifX(z)是有理的，且x[n]是右边序列，thenROC位于Z平面内最外层极点的外边；•ifx[n]是双边序列，thenROC是Z平面一个圆环；•ROC内不包含任何极点；•ifx[n]是有限长序列，thenROC是整个Z平面，可能除去z＝0或\和z＝点。有关z变换的Matlab函数•Zplane(a,b):plotthepolesandzeros,giventhenumeratorrowvectoraandthedenominatorrowvectorb.•Zplane(z,p):plotsthezerosincolumnvectorzandthepolesinthecolumnvectorp.•[z,p,k]=tf2zp(a,b):computethepolesandzerosandgaincoefficient,giventhenumeratorrowvectoraandthedenominatorrowvectorbMatlab举例例：num=input('输入分子系数=');den=input('输入分母系数=');[z,p,k]=tf2zp(num,den);m=abs(p);disp('零点在');disp(z);disp('极点在');disp(p);disp('增益常数');disp(k);disp('极点半径');disp(m);sos=zp2sos(z,p,k);disp('二阶部分');disp(real(sos));zplane(num,den);num=[216445632]den=[33-1518-12]四、逆z变换逆z变换中极点的留数在留数定理来求围线。该积分通常可用方向环绕原点一周的单收敛域内的反时针是一条在为围线积分，积分路径czzGngzXcdzzzGdzzzGjngncncn11121定义：部分分式展开法当是有理函数时，可将其展开为部分分式1()1iiiAXzaz()Xz求解z反变换步骤：1.求出的所有极点；2.将展开为部分分式；3.根据总的ROC，确定每一项的ROC；4.利用常用变换对和Z变换性质求出每一项的反变换。()Xzia()Xz部分分式展开法举例11212111211111112113135(),[]438()11,(1)(3)(1)(3)8587,.(1)2(3)2571[][]1[][]223zznnzzHzxnzzAAzHzzzzzzzAAzzxnnunun？这样求解有没有问题？例子例2：111536()11(1)(1)43zXzzz1143z1112()111143Xzzz1ROC2ROC1ROC:||1/4z2ROC:||1/3z用MATLAB进行部分分式展开部分分式展开[r,p,k]=residuez(num,den)r为留数向量，p为极点向量，k为常数向量。num:有理z变换函数的分子系数（矢量）den:有理z变换函数的分母系数（矢量）逆运算：[num,den]=residuez(r,p,k)例子：P254-255:例6.16-6.17长除法求逆z变换顺序的长除如为左边序列采用升幂采用降幂顺序的长除，的形式，如为右边序列展开为将nnznxzG长除法举例21,41131121zzzzX例：12321111...3412114zzzz12113114zz1213113411312zzzz3435111216111248zzzz…23241141211416zzzz长除法1111()(1,,,,...)341216xn用MATLAB计算逆Z变换方法一：利用LTI求解冲击序列的方法来来求解（impz）[h,t]=impz(num,den)[h,t]=impz(num,den,L)L=input('Typeinthelengthofoutputvector=');%输入分子及分母系数num=input('Typeinthenumeratorcoefficients=');den=input('Typeinthedenominatorcoefficients=');%求冲击响应序列（对应z反变换）[y,t]=impz(num,den,L);disp('Coefficientsofthepowerseriesexpansion:');disp(y')P256:例6.20用MATLAB计算逆Z变换方法二：利用LTI系统的单位冲击响应函数来求解（filter)y=filter(num,den,x)x为单位冲激信号，y为z反变换时间序列%Readinthenumberofinversez-transformcoefficientstobecomputedN=input('Typeinthelengthofoutputvector=');%Readinthenumeratoranddenominatorcoefficie