第9章-IIR滤波器设计

第9章IIR滤波器设计理想低通滤波器cc)(jHrT滤波器性能指标截止频率实际滤波器幅度响应指标通带1()1papHj阻带()asHj过渡带通带波纹阻带波纹通带截止频率阻带截止频率通带峰值波纹最小阻带衰减dBpp)1(log2010dBss10log20模拟低通滤波器的归一化幅度指标c11/Apcs)(jH211（normalizedform）最大通带衰减:dB)1(log20210maxpp2)21(log2010max最大通带波纹:211最大阻带波纹:归一化的数字低通滤波器幅度响应指标通带幅度的最大值设定为1A1过渡比或选择性参数分辨参数spk121Ak数字滤波器的设计步骤：1）确定滤波器的性能指标。2）用系统函数去逼近性能要求，求出H(z)或h(n)。可用IIR或FIR，因果稳定的LTI系统。3）实现系统函数。选择系统结构（如如级联型、并联型等），选择合适的字长（包括系数量化及输入、中间和输出变量的量化）有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。4）用适当的软、硬件技术实现。通用可采用软件或硬件实现。主要包括：滤波器系数存储器、传输现在和过去输入与输出的存储器、乘法器、加法器或算术逻辑单元。IIR和FIR滤波器的比较1、从性能上进行比较(a)FIR：线性相位，稳定；(b)IIR：相同幅度指标下，阶数低（相差几十倍），计算效率高；非线性相位，需级联全通滤波器均衡相位；注意稳定性；2、设计方法:IIR滤波器：将一个模拟的原型传输函数转换为一个数字的传输函数；FIR滤波器：基于对指定幅度响应的直接逼近。•IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，利用双线性变换法或冲激响应不变法转换到等价数字滤波器，有设计公式可供准确计算，计算工作量比较小。•FIR滤波器没有设计公式。可用窗口法、频率抽样法和最优化法。窗口法简单易懂，但是不能充分控制滤波器参数。•IIR受模拟滤波器限制，功能有限；FIR灵活，可以设计特殊应用，如微分器、积分器等。FIRIIR设计方法一般无解析的设计公式，要借助计算机程序完成利用AF的成果，可简单、有效地完成设计设计结果可得到幅频特性（可以多带）和线性相位（最大优点）只能得到幅频特性，相频特性未知（一大缺点），如需要线性相位，须用全通滤波器校准，但增加滤波器阶数和复杂性稳定性极点全部在原点（永远稳定）无稳定性问题有稳定性问题阶数高结构非递归递归系统运算误差一般无反馈，运算误差小有反馈，由于运算中的四舍五入会产生极限环快速算法可用FFT实现，减少运算量无快速运算方法IIR滤波器设计方法NNMMzdzdzddzpzpzppzH2211022110)(IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数pk,dk或零极点，以使滤波器满足给定的性能要求。IIR滤波器设计方法1、解析方法：模拟滤波器→数字滤波器(a)模拟逼近技术很成熟(b)有设计公式，参数有大量图表可查(c)有典型的滤波器类型可供使用(d)很多应用中需要模拟滤波器的数字仿真第一步选择一种最优准则。例如，选择最小均方误差准则，最大误差最小准则等。第二步，求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数。这种设计需要进行大量的迭代运算，故离不开计算机。所以最优化方法又称为计算机辅助设计法。2、数值方法：计算机辅助设计常用的模拟滤波器巴特沃兹（Butterworthfilter）切比雪夫（Chebyshevfilter）椭圆（Ellipticfilter）贝塞尔（Besselfilter）巴特沃斯滤波器n阶巴特沃斯滤波器1/12ncajHNNnnNaasasasassH122111)(归一化形式（c=1）ai可以查表得到2、-3dB截止频率：c3、滚降的陡峭度：N012300.20.40.60.81MagnitudeButterworthFilterN=2N=4N=10巴特沃斯滤波器的特性1、=0处，前2N-1阶导数为0（最大平坦幅度特性）幅度响应与相位响应在通带3/4内近似线性相位sHpH巴特沃斯滤波器设计——确定c和N已知：psps，，，22()()appassHjHHjH附录AA.8，A.9N=4N=10N=21scp221112)(AjHButterworth滤波器设计举例(II)切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器1型滤波器（全极点）)/(11)(222pNaTjH1()()NcaNllHssp11cos(cos),1()cosh(cosh),1NNTN切比雪夫多项式幅度响应特点：1、通带内具有等波纹2、阻带内单调下降012300.20.40.60.81MagnitudeType1ChebyshevFilterN=2N=3N=8切比雪夫滤波器2型滤波器222)/()/(11)(sNpsNaTTjH101()()()NllaNllszHsCsp零极点系统幅度响应特点：1、通带内单调下降2、阻带内具有等波纹012300.20.40.60.81MagnitudeType2ChebyshevFilterN=3N=5N=7012300.20.40.60.81MagnitudeType1ChebyshevFilterN=2N=3N=8012300.20.40.60.81MagnitudeButterworthFilterN=2N=4N=10巴特沃斯：通/阻带内随频率单调变化(误差非均匀分布，某些频带指标高出要求)切比雪夫：误差均匀分布在通/阻带内实现相同幅度指标，切比雪夫阶数更少椭圆滤波器）（pNaRjH/11)(222椭圆函数特点：通带和阻带具有等波纹特性(误差均匀分布)同样的性能要求，比前两种滤波器所需用的阶数都低几种滤波器比较幅度响应巴特沃斯：通带和阻带均具有平滑幅度切比雪夫I型：通带内等波纹，阻带平滑切比雪夫II型：阻带内等波纹，通带平滑椭圆：通带、阻带内具有等波纹特性过渡带宽度巴特沃斯切比雪夫椭圆相位巴特沃斯、切比雪夫：通带3/4内近似线性相位椭圆：通带1/2内近似线性相位线性相位IIR模拟滤波器1、IIR+全通滤波器2、贝塞尔滤波器（BesselLowpassFilter）：求解考虑相位约束NNNNssdsdddsBdsH111000)()(通带近似线性相位贝塞尔多项式h(n)无限—设计h(n)根有限—传输函数入手从何入手设计IIR滤波器？IIR滤波器的解析设计传输函数—根有限低通、高通等如何对应根(零极点)？利用已有成熟结果—模拟传输函数(S域)IIR滤波器设计:S域→Z域S域→Z域单位圆S平面Z平面映射模拟数字IIR滤波器设计的双线性变换法目标：模拟滤波器→数字滤波器要求：s域稳定→z域稳定变换简单s域z域变换常见的s域→z域变换极点变换ksTkpes域极点z域极点双线性变换1111zsz满足要求？冲激响应不变法双线性变换：1111zsz11szs单位圆S平面Z平面S平面虚轴→Z平面单位圆22111(,)11sbjbjbzzbbjbS左半平面→Z平面单位圆内2222(1)1101(1)sabjababjzzaabjab双线性变换：1111zsz11szs单位圆S平面Z平面-101tan()12jjeje单调：一一对应双线性变换：模拟频率Ω数字频率ω非线性：频率弯折(低频提升，高频压缩)特点：kHzrad模拟滤波器315Hz例：低通滤波器的频率畸变截止频率改变数字滤波器双线性变换185Hz1k采样)2tan(2T例：带通滤波器的频率畸变数字模拟模拟畸变如何消除？频率指标预扭曲+=预扭曲双线性变换校正后的频率2tan2T数字频率指标模拟频率指标预扭曲：低通IIR滤波器设计2、设计模拟低通滤波器1、数字低通指标模拟低通指标预扭曲3、模拟低通滤波器数字低通滤波器双线性变换例：设计一个低通IIR数字滤波器G(z)，性能指标如下:1)(0jeG25.0p55.0sdBeGpj5.0)(log2010dBeGsj015)(log201011/Aps)(jH2111、将数字截止频率预弯折为模拟截止频率4142136.0)225.0tan()2tan(pp1708496.1)255.0tan()2tan(aa1220185.01015.011log2005.02210622777.3110151log205.1210AA8266809.21psk841979.151121Ak6586997.2)1(log)1(log10110kkN588148.011)(1122cNcp2、设计模拟低通原型滤波器三阶归一化低通Butterworth传输函数:)1)(1(1)(2ssssHan)345918.0588148.0)(588148.0(203451.0)()(2ssssHsHcana3、模拟低通-数字低通（双线性变换）)3917468.06762858.01)(2593284.01()1(0662272.0)()(211311111zzzzsHzGzzsa高通、带通、带阻IIR滤波器设计2、设计模拟低通滤波器1、数字频率指标模拟低通频率指标预扭曲、谱变换3、模拟低通数字滤波器双线性变换、谱变换1、数字高通/带通/带阻→模拟低通数字指标同类模拟滤波器指标模拟低通滤波器指标模拟谱变换预扭曲3、模拟低通→数字高通/带通/带阻数字高通/带通/带阻模拟高通/带通/带阻模拟低通模拟谱反变换双线性反变换实现方法-1ˆ()sFs()LPHsˆ()DHs1ˆ()sFs模拟谱变换模拟低通←→模拟高通/带通/带阻s平面ŝ平面模拟低通→模拟高通11ˆˆsjjsˆˆˆpppppp模拟低通→模拟带通2ˆˆˆˆbbaSaSSˆˆˆˆˆp2p112pp0ˆ0ˆ模拟低通→模拟带阻2ˆ1ˆˆˆSbbaaSSss1ˆs2ˆs1ˆs2ˆs1、数字高通/带通/带阻→模拟低通数字指标同类模拟滤波器指标模拟低通滤波器指标模拟谱变换预扭曲3、模拟低通→数字高通/带通/带阻实现方法-2数字高通/带通/带阻数字低通模拟低通数字谱变换双线性反变换数字低通与数字高通/带通/带阻的关系-ππ-ππ-ππωωω|H||H||H|π2π-4ππ3π-3π-2π4π|H|ωπ2π-4ππ3π-3π-2π4π|H|ωπ2π-4ππ3π-3π-2π4π|H|ω数字谱变换：模拟低通→模拟高通、带通、带阻()LGzˆ()DGz)ˆ(zFz)(ˆ1zFzz平面平面ˆz)ˆ(zFz需满足：平面内部(稳定)z平面内部ˆz)ˆ(zFz为有理函数)ˆ(zFzz平面单位圆平面单位圆ˆz1ˆ11ˆ11ˆ1)ˆ(zifzifzifzF为全通函数ˆ1/()Fz低通→低通ωω^111ˆˆ1zzz零极图ωω^低通→高通111ˆˆ1zzz零极图低通→带通ωω^2112121ˆˆ1112ˆˆ111zzzzz低通→带阻ωω^2112121ˆˆ1112ˆˆ111zzzzzIIR数字滤波器：S域→Z域的设计方法模拟滤波器的选择映射变换的选择如何通过数值方法设计？