同济大学：相似理论

2014.3相似理论的基本原理相似准则的方程分析法相似理论是研究自然现象中个性与共性，或特殊与一般的关系以及内部矛盾与外部条件之间的关系的理论。——物理在结构模型试验研究中，只有模型和原型保持相似，才能由模型试验结果推算出原型结构的相应结果如何描述相似？外形相似外形相似只是相似的必要条件，但不是充分条件。如何描述相似如何描述相似在工程中，常用电场来模拟温度场、材料的应力场和有限自由度的振动系统；用导热现象来模拟分子的扩散现象；用电解槽各点的电位来模拟不可压缩无粘性流体的运动、柱状弹性杆的自由扭转和一些热传导的问题。拉普拉斯方程可代表重力、电势、和温度的分布。◦以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象拉普拉斯算子电感L比作质量m，电阻R比作阻尼u，电容C比作弹簧k，外加电压E比作外力F，电荷q比作位移y。两系统的初始条件相似性在于：适当地选择各种物理量和初始条件，就能使y(t)和q(t)在对应的时间内完全成比例的变化。通过测量各种电量就能换算出位移、速度等机械量。相似现象◦两系统，在进行同一性质的物理过程中，如果所有有关的物理量在其几何对应点及相对应的瞬时都各自保持一定的比例关系，则这样的物理过程叫相似现象。相互相似即所表示的物理方程式是相同的。相似常数◦也称为相似比尺、相似系数，即各对应点上同种物理量的比值。在相似现象中，各相似常数之间受物理定律的约束，往往不能任意选取。相似指标◦由于相似现象是性质相同的物理过程，与现象有关的各物理量都遵循相同的物理定律，从它们共同遵循的物理方程式中得到相似常数的组合，这些组合的数值受到物理定律的约束，这就限制了各个物理量相似常数的自由选取。这种相似常数的组合叫相似指标。相似准则◦将相似指标中的同种物理量之比代入，便得到同一体系中各物理量的无量纲组合，称为相似准则，也叫相似模数、相似判据或相似不变量。如何描述相似？◦相似的基本特征：几何（空间）相似运动（时间）相似动力（物理）相似（1）几何相似（空间相似）◦（GeometricalSimilarity）◦两个系统：原型（prototype）和模型（model）几何尺寸中，对应长度均保持一个固定的比例，把模型中任一长度尺寸乘比例尺，便得到原型的相应长度。几何相似只有一个长度比尺，几何相似是力学相似的前提（2）运动相似（时间相似）◦（KinematicSimilarity）◦运动相似建立在几何相似基础上◦原型和模型对应质点的速度方向相同，大小成比例◦运动相似只需确定时间比例系数就可以了。运动相似也就被称之为时间相似。◦长度比值和时间比值均为常值，因而可以得到加速度比值亦为常值运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。（3）动力相似（DynamicSimilarity）两流动物体的对应点上质点所受力F的方向相同,大小成比例。原型流动中作用有重力、阻力、表面张力，则模型流动中对应点上也应存在这三种力，并且各同名力矢量方向平行、比值保持相等。力学物理量的比例系数可以表示为密度、尺度、速度比例系数的不同组合形式。32()()mrrrrpFlMLvFl力矩几何比尺、运动比尺和动力比尺之间由力学基本定律规定了的一定的约束关系。牛顿第二定律四个相似比尺中三个可自由选取，剩余一个由上述比尺关系确定F、m、v、t分别为合力、质量、速度和时间相似准则◦常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比，组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相似流动中应该是相等的1佛劳德准则(Froude)表示惯性力和重力之比，反映了物体运动中重力所起的影响程度佛劳德相似准数(无量纲)2欧拉准则(Euler)表示压力和惯性力的比值，表示物体表面压力分布的压强系数，以及升力系数和阻力系数等。欧拉相似准数(无量纲)3雷诺准则(Renolds)表示惯性力和粘性力之比，反映了流体流动时惯性力与内摩擦力的相对大小。雷诺相似准数其他相似准数动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全的动力相似。如果所有的相似准数都相等，意味着各比例系数均等于1，这实际上意味着模型流动和原型流动各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了相等流动。因此，要使两者达到完全的动力相似，实际上办不到，我们寻求的是主要动力相似。要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的原型流动的性质来决定◦对于重力起支配作用的流动，选用Froude准数为主要相似准数（决定性相似准数），满足Frm=Frp雷诺准则——管流、水面下的潜艇运动、输油管道、飞机在空中的低速飞行以及隧洞中的有压流动等，粘性力起主要作用;•佛汝德准则——闸孔出流、堰上出流、水面船舶运动以及明渠流动等，重力起主要作用;上述这三种相似是原型与模型保持完全相似的重要特征与属性，这三种相似是互相联系和互为条件的。◦几何相似为运动相似和动力相似的前提与依据;◦动力相似是决定运动相似的主导因素;◦运动相似是几何相似和动力相似的表象与结果。相似第一定理：（相似正定理）相似第二定理：（π定理）相似第三定理：（相似逆定理）(1)相似第一定理：两个相似的系统，单值条件(系统的几何性质、介质的物理性质、起始条件和边界条件等)相同，其相似判据的数值也相同。很难实现同时满足两个以上准数相等当用相似第一定理指导模型研究时，首先重要的是导出相似准则。然后在模型试验中测量所有与相似准则有关的物理量，借此推断原型的性能工程学上常为一些特殊领域中具有重要影响的相似准则命名，如：◦流体力学：雷诺数，佛劳德数，欧拉数，马赫数，斯特劳数等◦传热学：贝克列数，努谢尔数◦力学：牛顿数(2)相似第二定理：当一现象由n个物理量的函数关系来表示，且这些物理量中含有m种基本量纲时，则能得到(n-m)个相似判据。量纲的定义:量纲是物理量的单位种类，又称因次。如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用[L]表示。量纲的表示方法：物理量的代表符号外加上中括号。如[L]，[M]，[T]等。用[]表示物理量的量纲用（）表示物理量的单位量纲的分类：基本量纲导出量纲基本量纲是一组具有独立性的量纲。在水力学领域中有三个基本量纲：[L]，[T]，[M]。导出量纲由基本量纲组合或推导出来的量纲。如加速度的量纲[a]=LT-2；力的量纲[F]=[ma]=MLT-2有量纲量和无量纲量任何物理量C的量纲可写成[C]=[M][L][T]当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。几何学的量，α＝γ＝0，β≠0运动学的量，α＝0，γ≠0；动力学的量，α≠0。无量纲量1,1Re,Re1,2212121LLTLTFrgluFrTLLLTdLLJdLdHJ例题：自由落体运动的位移s与时间t、重力加速度g有关。试求位移s的表达式。解：s=Kgatb[L]=[LT-2]a[T]b根据量纲和谐原理，方程两侧的量纲应一致，则La=1T-2a+b=0得出：a=1,b=2s=Kgt2π定理的应用步骤（1）根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量。(对所研究的现象起作用的所有各种独立因素)对水流现象来说，主要有：水的物理特性：密度、粘性等;流动边界的几何特性：长度等;流动的运动特征：速度、加速度等。(2)从n个物理量中选取m个基本物理量，作为m个基本量纲的代表，m一般为3。◦这里要求三个基本物理量在量纲上是独立的在实际中，一般选一个几何学量，一个运动学量和一个物理系数或动力学量来作基本物理量。（3）从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮取一个，连同三个基本物理量组合成一个无量纲的π项，这样一共可写出（n-3）个π项（4）每个π项即是无量纲数，根据量纲和谐原理，求出各π项的指数ai、bi、ci，从而定出各无量纲π项。（5）写出描述现象的关系式相似第二定理实例质量m的小球系在长度为l的线的一端，偏离平衡位置后小球在重力mg的作用下做往复摆动，求小球的摆动周期t。在这个问题中有关的物理量有：t,m,l,g（4）根据量纲和谐原理，各项的指数分别确定如下：对上式，其量纲式为2(/)gms（5）将各项代入式得无量纲数方程为2ltg利用π定理，可以在仅知与物理过程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。1945年7月16日，美国在新墨西哥州试爆了第一颗原子弹，1947年美国军方将一系列反应原子弹爆炸的火球随时间扩展的照片解密。英国力学家泰勒（G.I.Taylor）1950年发表了一篇文章，根据这些照片序列，居然把原子弹的能量算出来了。泰勒研究流体力学方程时，得到一种自相似运动的解。气体从一点发生强爆炸时产生的冲击波属于这种自相似运动。◦它的解只依赖于能量E，气体密度ρ和定压定体热容比γ这三个参量，若用量纲分析，再加上R和t，五个变量中γ是无量纲的，另外四个可以组成一个无量纲量：(3)相似第三定理：凡具有同一特性的现象，当单值条件彼此相似，且由单值条件的物理量所组成的相似判据在数值上相等时，则这些现象必定相似。单值条件◦几何：几何尺寸◦物理：弹性模量、泊松比、容重、重力加速度◦边界：支承情况、边界荷载分布情况等◦初始：振动的初相位、运动的初速度等