圆的性质与圆锥曲线综合应用问题

（2）圆的性质与圆锥曲线综合应用问题二、典型问题一、考情概述随着新课程标准不断的推进与深入，高考对解析几何的要求也随之发生很大的变化，对圆的考查在逐渐加深，与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题，渐渐成为高考命题的热点，是一种新的命题趋势。题型一、圆的切线与圆锥曲线综合问题题型二、圆锥曲线中的四点共圆综合问题题型一、圆的切线与圆锥曲线综合问题例1．已知椭圆22221,(0)xyabab的右焦点为2(1,0)F，点321(,)24P在椭圆上。（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆222xyb上，且M在第一象限，过点M作圆222xyb的切线交椭圆于,AB两点，问2AFB的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。点拨：（1）根据条件点321(,)24在椭圆上，运用椭圆的定义122PFPFa，求出参数a，从而可以求出椭圆的标准方程；（2）我们可设直线AB的方程为0,0ykxmkm，1122,,,AxyBxy，根据AB是圆的切线，可以找到参数,km的关系即得到2231mk（），为了求2AFB的周长，就是处理22+AFBFAB，分别利用圆锥曲线的弦长公式，结合椭圆标准方程和两点间的距离公式可以求211114222AFxx，222114222BFxx，即可求解。解析：（Ⅰ）由题意得222222214921=13416abcabab所以椭圆方程为22143xy（Ⅱ）由题意，设AB的方程为0,0ykxmkmAB与圆223xy相切，231mk，即2231mk（）由222223484120143ykxmkxkmxmxy例1．已知椭圆22221,(0)xyabab的右焦点为2(1,0)F，点321(,)24P在椭圆上。（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆222xyb上，且M在第一象限，过点M作圆222xyb的切线交椭圆于,AB两点，问2AFB的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。题型一、圆的切线与圆锥曲线综合问题例1．已知椭圆22221,(0)xyabab的右焦点为2(1,0)F，点321(,)24P在椭圆上。（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆222xyb上，且M在第一象限，过点M作圆222xyb的切线交椭圆于,AB两点，问2AFB的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。设1122,,,AxyBxy，则21212228412,3434kmmxxxxkk22121212114ABkxxkxxxx2222228412414343434kmmkmkkkkg又22222212111111131444xAFxyxx211114222AFxx，同理222114222BFxx221221444234kmAFBFxxk222244+443434kmkmAFBFABkk（定值）题型一、圆的切线与圆锥曲线综合问题另解，在此我们发现AB与圆O相切于点M，我们可以否利用切线的性质来处理呢？我们发现OMAB在RtOMA中，222OAOMAM,222222211111333(1)344xxAMOAxyx，即12xAM，同理22xBM,121()2ABAMBMxx211114222AFxx，同理222114222BFxx221221444234kmAFBFxxk222244+443434kmkmAFBFABkk（定值）例1．已知椭圆22221,(0)xyabab的右焦点为2(1,0)F，点321(,)24P在椭圆上。（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆222xyb上，且M在第一象限，过点M作圆222xyb的切线交椭圆于,AB两点，问2AFB的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。题型一、圆的切线与圆锥曲线综合问题例2.在平面直角坐标系xOy中，F为抛物线2:2(0)Cxpyp,的焦点，D为抛物线C上第一象限内任意一点,FODV外接圆的圆心为Q,且圆心Q到抛物线C的准线的距离为34，（1）求抛物线C的方程；（2）设点000(,),(1)Pxyx为抛物线C上第一象限内任意一点，过点P作圆22(1)1xy的两条切线12,ll且与y轴分别相交于,AB两点，求PAB面积的最小值.点拨：本题解题关键点如何利用圆的切线将问题等价转化为方程22200000(1)2(1)20xkyxkyy，在得到与y轴的交点1010yykx，2020yykx可得12AByy，从而利用韦达定理，在得到PAB的面积4002011221xSABxx关系式后，如何通过代数变形，利用基本不等式处理，是本题的难点．题型一、圆的切线与圆锥曲线综合问题解析：（1）由抛物线C方程22xpy，已知(0,)2pF，准线2py，外接圆心在直线4py上，依题意3344p，即1p，抛物线C方程为yx22（2）设过点00(,)Pxy的直线l方程为00()yykxx000kxyykx直线与圆22(1)1xy相切，则002(1)11ykxk化简得：22200000(1)2(1)20xkyxkyy-----------①例2.在平面直角坐标系xOy中，F为抛物线2:2(0)Cxpyp,的焦点，D为抛物线C上第一象限内任意一点,FODV外接圆的圆心为Q,且圆心Q到抛物线C的准线的距离为34，（1）求抛物线C的方程；（2）设点000(,),(1)Pxyx为抛物线C上第一象限内任意一点，过点P作圆22(1)1xy的两条切线12,ll且与y轴分别相交于,AB两点，求PAB面积的最小值.题型一、圆的切线与圆锥曲线综合问题2222000001212002222004(1)4(2)(1)(1)(1)yxyyxAByykkxxxx242220000000022001222411xxxxxxyyxx30201xx方程的根为12,kk，则有00122020012202(1)121yxkkxyykkx设直线12,ll在y轴上截距分别为12,yy，则1010yykx，2020yykx例2.在平面直角坐标系xOy中，F为抛物线2:2(0)Cxpyp,的焦点，D为抛物线C上第一象限内任意一点,FODV外接圆的圆心为Q,且圆心Q到抛物线C的准线的距离为34，（1）求抛物线C的方程；（2）设点000(,),(1)Pxyx为抛物线C上第一象限内任意一点，过点P作圆22(1)1xy的两条切线12,ll且与y轴分别相交于,AB两点，求PAB面积的最小值.题型一、圆的切线与圆锥曲线综合问题422200002200(1)2(1)111122121xxxSABxxx2020111(1)2(22)2212xx当且仅当2020111xx，且02x时PABS面积取最小值，即面积最小值为2例2.在平面直角坐标系xOy中，F为抛物线2:2(0)Cxpyp,的焦点，D为抛物线C上第一象限内任意一点,FODV外接圆的圆心为Q,且圆心Q到抛物线C的准线的距离为34，（1）求抛物线C的方程；（2）设点000(,),(1)Pxyx为抛物线C上第一象限内任意一点，过点P作圆22(1)1xy的两条切线12,ll且与y轴分别相交于,AB两点，求PAB面积的最小值.点评：圆的切线与圆锥曲线的交汇，根据圆的切线可以分为两类：（1）过圆上的点作圆的切线，处理此类题可以直接设切线方程ykxm，利用切线条件寻求参数,km的关系，进而研究直线与圆锥曲线的位置关系研究弦长问题，中点弦等一些综合问题；（2）过圆锥曲线上一点00(,)Pxy（点P在圆外面）作圆的切线，通常可设过点00(,)Pxy的直线00()yykxx运用相切条件，将问题转化为关于k的一元二次方程，运用韦达定理求解。题型一、圆的切线与圆锥曲线综合问题题型二、圆锥曲线中的四点共圆综合问题例3.已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F，直线4y与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且5||||4QFPQ.（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线'l与C相较于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.点拨：(1)由条件列式直接求出；(2)由直线方程与抛物线方程联立求AB的长，由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点共圆等价于12AEBEMN，结合圆的垂径定理这一性质得到2221144ABDEMN，列式求解．解析：（I）设0,4Qx，代入22ypx得08xp.所以8PQP，0822ppQFxp.由题设得85824ppp，解得2p（舍去）或2p.所以C的方程为24yx.例3.已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F，直线4y与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且5||||4QFPQ.（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线'l与C相较于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.（II）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为10xmym.代入24yx得2440ymy.设11,Axy，22,Bxy，则124yym，124yy.故AB的中点为221,2Dmm，2212141ABmyym.又l的斜率为m，所以l的方程为2123xymm.将上式代入24yx，并整理得2244230yymm.设33,Mxy，44,Nxy，则344yym，234423yym.故MN的中点为222223,Emmm，题型二、圆锥曲线中的四点共圆综合问题223422412311mmMNyymm.由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于12AEBEMN，从而2221144ABDEMN，即2222222244121224122mmmmmmm.化简得210m，解得1m或1m.所求直线l的方程为10xy或10xy.例3.已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F，直线4y与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且5||||4QFPQ.（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线'l与C相较于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.点评：四点共圆的转化是解题的关键，而沟通AB、MN的长度关系的纽带是中点,同时根据圆的性质，如“垂径定理”列出关系式，从而可以求解。题型二、圆锥曲线中的四点共圆综合问题圆的性质与圆锥曲线综合应用问题的解题策略：（1）处理圆的切线与圆锥曲线综合问题，主要就是巧设直线方程，利用圆的切线性质（圆心到直线的距离等于半径）找到直线的参数之间的关系或者转化为直线的斜率的一元二次方程，利用韦达定理求解；(2）处理共圆问题，主要抓住弦长即弦的中点的关系并结合的圆的垂径定理，综合寻求关系。本课小结谢谢观看！