三年高考(2017-2019)高考数学真题分项汇编专题11平面向量理(含解析)

1专题11平面向量1．【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为||2||ab()abA．B．π6π3C．D．2π35π6【答案】B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，()ab2()abbabb2abbcos22||12||2abbabb所以a与b的夹角为，故选B．π3【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．[0,]2．【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=ABACBCABBCA．−3B．−2C．2D．3【答案】C【解析】由，，得，则，(1,3)BCACABt221(3)1BCt3t(1,0)BC．故选C．(2,3)(1,0)21302ABBC【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【2019年高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”ABAC||||ABACBC的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与的夹角为锐角，所以，即ABAC2222||||2||||2ABACABACABACABAC，因为，所以|+|||；22||||ABACACABACABBCABACBC当|+|||成立时，|+|2|-|2•0，又因为点A，B，C不共线，ABACBCABACABACABAC2所以与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|||”的充分必要条件,ABACABACABACBC故选C．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4．【2018年高考全国I卷理数】在中，为边上的中线，为的中点，则ABC△ADBCEADEBA．B．3144ABAC1344ABACC．D．3144ABAC1344ABAC【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得111111222424BEBABDBABCBABAAC，所以.1113124444BABAACBAAC3144EBABAC故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．【2018年高考全国II卷理数】已知向量，满足，，则ab||1a1ab(2)aabA．4B．3C．2D．0【答案】B【解析】因为所以选B.22222||1213aabaaba,【名师点睛】已知非零向量，：11(,)xya22(,)xyb几何表示坐标表示3模|a|=aa2211xya夹角cosabab121222221122cosxxyyxyxy6．（2018年高考浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量bπ3满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A．−1B．+133C．2D．2−3【答案】A【解析】设，则由得a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n)⟨a,e⟩=π3a⋅e=|a|⋅|e|cosπ3,x=12x2+y2，,∴y=±3x由b2−4e·b+3=0得因此|a−b|的最小值为圆心到直线m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,(2,0)的距离减去半径1，为选A.y=±3x23=323-1.【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.7．【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，,,120,ABBCADCDBAD若点E为边CD上的动点，则的最小值为1,ABADAEBEA．B．211632C．D．25163【答案】A【解析】连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为ABD△,ABBCADCDBCD△4等边三角形，.3BD设01DEtDCtAEBE2232ADDEBDDEADBDDEADBDDEBDDEDE=233322tt01t所以当时，上式取最大值，故选A.14t2116【名师点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示，同时利用向量共线转化为函数求最值.8．【2018年高考北京卷理数】设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的33ababA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，因为a，b均222222699+63333aabababababbaabb为单位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”2222699+6=0aabbaabbab33abab的充分必要条件.故选C.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，pqqppq则是的充分条件．pq2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条pqqpqppqpqqp件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．ABABBAABAB9．【2017年高考全国III卷理数】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为APABADA．3B．22C．D．25【答案】A5【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设，0,1,0,0,2,0,2,1,,ABCDPxy易得圆的半径，即圆C的方程是，25r22425xy，若满足，,1,0,1,2,0APxyABADAPABAD则，，所以，21xy,12xy12xy设，即，点在圆上，12xzy102xyz,Pxy22425xy所以圆心到直线的距离，即，解得，(20),102xyzdr221514z13z所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A．z【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.10．【2017年高考全国II卷理数】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则ABC△PABC的最小值是()PAPBPCA．B．232C．D．431【答案】B6【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，BCxBCDAyD则，，，设，所以，，(0,3)A(1,0)B(1,0)C(,)Pxy(,3)PAxy(1,)PBxy，所以，(1,)PCxy(2,2)PBPCxy22()22(3)22(PAPBPCxyyxy，当时，所求的最小值为，故选B．2333)2223(0,)2P32【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．11．【2017年高考北京卷理数】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的mn0mnA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么0mn,mn180cos180mnmn；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，0mn0mn90,180使得，所以是充分而不必要条件，故选A.mn【名师点睛】【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若，那么,pqqpp是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若qqppqpq，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，,pqqp已知:,pxA7,若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么:qxBABpqqpAB，互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据pq互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断.pqqp12．【2019年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则25cabcos,ac___________.【答案】23【解析】因为，，25cab0ab所以，225acaab2，所以，222||4||455||9caabb||3c所以．cos,ac22133acac【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．13．【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点ABCD,23,5,30ADBCABADA∥在线段的延长线上，且，则___________．ECBAEBEBDAE【答案】1【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.23,5,ABAD(23,0)B535(,)22D因为∥，，所以，ADBC30BAD30ABE因为，所以，AEBE30BAE所以直线的斜率为，其方程为，BE333(23)3yx直线的斜率为，其方程为.AE3333yx8由得，，3(23),333yxyx3x1y所以.(3,1)E所以.35(,)(3,1)122BDAE【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.14．【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.ABC△O若，则的值是___________．6ABACAOEC