高二数学选修3-3-2函数的极值与导数函数的最大值与导数

第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学1．知识与技能结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法会用导数求不超过三次的多项式函数的极值，以及在给定区间上求最大值、最小值．第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学本节重点：利用导数的知识求函数的极值．本节难点：函数的极值与导数的关系．利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义域；其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小开区间的符号．求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极小值之间无确定的大小关系．第三章导数及其应用人教A版数学f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．例如：函数f(x)＝x3，f′(0)＝0但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学1．理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值．第三章导数及其应用人教A版数学(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．(如图(1))第三章导数及其应用人教A版数学(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．2．导数为0的点不一定是极值点．3．正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)必有最值．”此性质包括两个条件：第三章导数及其应用人教A版数学(1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值．如f(x)＝1x，x∈(0,1)，f(x)在区间(0,1)连续，但没有最大值和最小值(如图)．第三章导数及其应用人教A版数学(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点，也不能保证f(x)有最大值和最小值，如函数f(x)＝|x|，－1≤x≤1且x≠0，1，x＝0.在[－1,1]上有间断点，没有最小值(如图)．第三章导数及其应用人教A版数学4．正确区分极值和最值(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对性，极值具有相对性．(2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中的最小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点处取得；极值有可能成为最值．第三章导数及其应用人教A版数学5．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学1．已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有，则称函数f(x)在点x0处取得，并把x0称为函数f(x)的一个；如果都有，则称函数f(x)在点x0处取得，并把x0称为函数f(x)的一个．极大值与极小值统称为，极大值点与极小值点统称为．f(x)≤f(x0)极大值极大值点f(x)≥f(x0)极小值极小值点极值极值点第三章导数及其应用人教A版数学2．假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条，该函数在[a，b]上一定能够取得与，该函数在(a，b)内是，该函数的最值必在取得．3．当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极值；连续不断的曲线最大值最小值可导的极值点或区间端点f′(x)0f′(x)0大第三章导数及其应用人教A版数学(2)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极值；(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)函数f(x)的极值．f′(x)0f′(x)0小不是第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学[例1]求函数y＝3x3－x＋1的极值．[分析]首先对函数求导，求得y′，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．第三章导数及其应用人教A版数学[解析]y′＝9x2－1，令y′＝0，解得x1＝13，x2＝－13.当x变化时，y′和y的变化情况如下表：第三章导数及其应用人教A版数学因此，当x＝－13时，y有极大值，并且y极大值＝119.而当x＝13时，y有极小值，并且y极小值＝79.[点评]熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用求函数极值的一般步骤求解．第三章导数及其应用人教A版数学函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极大值为－27，无极小值[答案]C第三章导数及其应用人教A版数学[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝3(舍去)当－2＜x＜－1时，f′(x)＞0当－1＜x＜2时，f(x)＜0∴当x＝－1时f(x)有极大值，f(x)极大值＝f(－1)＝5，无极小值．故应选C.第三章导数及其应用人教A版数学[例2]求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值．[分析]首先求f(x)在(－1,2)内的极值．然后将f(x)的各极值与f(－1)，f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[解析]f′(x)＝3x2－4x.令f′(x)＝0，有3x2－4x＝0.解得x＝0，43.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：第三章导数及其应用人教A版数学故f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.[点评]利用求最值的步骤求解．函数最大值及最小值点必在下面各种点之中：导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点．函数在区间[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上存在最大值的充分而非必要条件．第三章导数及其应用人教A版数学求函数f(x)＝x4－8x2＋2在[－1,3]上的最大值与最小值．[解析]f′(x)＝4x3－16x＝4x(x－2)(x＋2)．令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝2.其中x2＝0，x3＝2在[－1,3]内，计算得f(0)＝2，f(2)＝－14，f(－1)＝－5，f(3)＝11，故f(x)在[－1,3]上的最大值是11，最小值是－14.第三章导数及其应用人教A版数学[例3]已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．[解析](1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝12，b＝0，c＝－32.第三章导数及其应用人教A版数学(2)f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．当x－1或x1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.第三章导数及其应用人教A版数学[点评]若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0)＝0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数．第三章导数及其应用人教A版数学设a0，(1)证明f(x)＝ax＋b1＋x2取得极大值和极小值的点各有1个；(2)当极大值为1，极小值为－1时，求a和b的值．[解析](1)证明：f′(x)＝a(1＋x2)－2x(ax＋b)(1＋x2)2＝－ax2－2bx＋a(1＋x2)2，令f′(x)＝0，即ax2＋2bx－a＝0.①第三章导数及其应用人教A版数学∵Δ＝4b2＋4a20，∴方程①有两个不相等的实根，记为x1、x2.不妨设x1x2，则有f′(x)＝－ax2－2bx＋a(1＋x2)2＝0，即－a(x－x1)(x－x2)＝0.f′(x)、f(x)的变化情况如下表：第三章导数及其应用人教A版数学由上表可见，f(x)取得极大值和极小值的点各有1个．(2)解：由(1)可知f(x1)＝ax1＋b1＋x21＝－1，f(x2)＝ax2＋b1＋x22＝1⇒－x21－1＝ax1＋b且1＋x22＝ax2＋b，两式相加，得x22－x21＝a(x1＋x2)＋2b.又x1＋x2＝－2ba，代入上式，得x22－x21＝a－2ba＋2b＝0，∴x22－x21＝0，即(x2－x1)(x2＋x1)＝0.第三章导数及其应用人教A版数学而x1x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0.代入①式，得a(x2－1)＝0.∵a0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2.∴a＝2，b＝0.第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学[例4]已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a、b、c为常数．(1)试确定a，b的值；(2)若对任意x0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．[解析](1)由题意知f′(x)＝4ax3lnx＋ax4·1x＋4bx3＝x3(4alnx＋a＋4b)．所以f(1)＝－3－c，f′(1)＝0，所以a＋4b＝0，b＝－3，所以a＝12，b＝－3.第三章导数及其应用人教A版数学(2)由(1)知f′(x)＝48x3lnx(x0)．当0x1时，f′(x)0，所以f(x)为减函数．当x1时，f′(x)0，所以f(x)为增函数，所以x＝1时f(x)min＝f(1)＝－3－c，若f(x)≥－2c2恒成立，所以－3－c≥－2c2，得c≥32或c≤－1.第三章导数及其应用人教A版数学[点评]恒成立转化为最值，即用导数求最值．函数的极值、最值常与单调性，不等式结合出解答题，是历年考试的重点，一般分为二至三问，要注意它们之间的内在联系，另外解此类问题要注意极值，最值的注意事项．第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学[例5]已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a、b的值．[误解]因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b.所以f′(－1)＝0，f(－1)＝0，即3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0.解得a＝1，b＝3，或a＝2，b＝9.第三章导数及其应用人教A版数学[辨析]根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x＝－1时函数两侧的单调性，故求错．[正解](在上述解法之后继续)当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数；当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学一、选择题1．若函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x)＝0是x0为函数y＝f(x)的极值点的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答