高等数学案例集

《高等数学》案例集第一章函数与极限（一）建立函数关系的的案例1、零件自动设计要求，需确定零件轮廓线与扫过的面积的函数关系。已知零件轮廓下部分为长a2，宽a22的矩形ABCD，上部分为CD圆弧，其圆心在AB中点O。如下图所示。M点在BC、CD、DA上移动，设BM＝x，OM所扫过的面积OBM（或OBCM或OBCDM）为y，试求y=f(x)函数表达式，并画出它的图象。解：axaaxaaxaaxaaxaxxfy2222242822222224122042)(22（二）极限1、一男孩和一女孩分别在离家2公理和1公理且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公理/小时和2公理/小时的速度步行回家,一小狗以6公理/小时的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,问小狗奔波了多少路程?若男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间,问当他们到达学校时小狗在何处?解：(1)男孩和女孩到校所需时间是半小时，也即小狗奔波了半小时，故小狗共跑了3公里。(2)设x(t)，y(t)，z(t)分别表示t时刻男孩、女孩、小狗距家的距离，（二）连续函数性质BCADMMM1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山,下午5时回到山下旅店。某乙说,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么?第三章中值定理与导数应用1、陈酒出售的最佳时机问题某个酒厂有一批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入R0＝50万元。如果窖藏起来待来年（第n年）按陈酒价格出售，第n年末可得总收入为R＝R0832ne万元，而银行利率为r＝0.05，试在各种条件下讨论这批好酒的出售方案。若银行利率开始为r＝0.05，第5年后降为0.04，请给出最佳出售方案。2、航空公司因业务需要，需要增加一架波音客机，如果购买需要一次支付6000万美元现金，客机的使用寿命为15年，如果租用一架客机，每年要支付600万美元的租金，租金每年年末支付，若银行年利率为8％，请问购买客机与租用客机那种方案较佳？如果银行的年利率为5％呢？2.梯子长度问题一楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台.清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上.因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.现清洁工只有一架7m长的梯子,你认为它能达到要求吗?能满足要求的梯子的最小长度为多少?解：functionf=fun(x)f=x+2*x/sqrt(x*x-3*3)%设温室以上的梯子长度为a，温室的长为x，高为y，则梯子的长为a+y*a/sqrt(a*a-x*x).%minb=a+y*a/sqrt(a*a-x*x)[x,fval]=fminbnd('hui2',3,12);xmin=xfmin=fval运行结果：f=Inff=14.0656xmin=3.9835fmin=7.02353、普勒与酒桶问题德国的开普勒是一位出色的天文学家，同时也是一位卓越的数学家。他于1965年出版了《葡萄酒桶的立体几何》一书。为什么取这样一个书名？据说开普勒把自己求许多图形的面积方法，与成一本书，可苦于找不到一个好的书名。有一天，他到酒店去喝酒，发现奥地利的葡萄酒桶，和他家乡莱茵的葡萄酒桶不一样，他想奥地利的葡萄酒桶为什么要做成这样呢？高一点好不好？扁一点行不行？第五章、定积分1、天然气产量的预测工程师们已经开始从墨西哥的一个新井开采天然气，根据初步的试验和以往的经验，他们预计天然气开采后的第t个月的月产量的函数给出：ttetP02.00849.0)((百万立方米),试估计前24个月的总产量。提示：前24个月的总产量为ttteP02.02410849.0，因为计算这个和式比较难，应用定积分来估计它。令ttetf02.00849.0)(,240t,则241)(ttfP，且0)02.01(0849.0)(02.0tetft，从而)(tf为递增函数。答案：4878.18P(百万立方米)2、终身供应润滑油所需的数量某制造公司在生产了一批超音速运输机之后停产了。但该公司承诺将为客户终身供应一种适于改机型的特殊润滑油。一年后该批飞机的用油率（单位升/年）又下式给出：23300)(ttr其中t表示飞机服役的年数，该公司要一次性生产该批飞机一年后所需的润滑油并在需要时分发出去，请问需要生产该润滑油多少升？提示:)(tr是该批分级一年后的用油率，所以ndttr1)(等于第一年到第n年间该批飞机所需的润滑油的数量，那么1)(dttr就等于该批飞机终身所需的润滑油的数量。答案：600(L)3、地球环带的面积地球上平行于赤道的线称为纬线，两条纬线之间的区域叫环带。假定地球是球形的，试证任何一个环带的面积都是kdS,这里k是构成环带的两条纬线间的距离，d是地球直径（约13000公里）。如果地球是旋转椭球，则地球的任一环带面积又是怎样？4、高尔夫球座的体积一个木制高尔夫球座大体上具有以)(xf与)(xg的图象为边界的区域绕OX轴旋转一周形成的立体。这里52/9,2/92/90,0)(xxxxg，52/9,2/12/92/7,])(1[2/72/1,4/12/10,2/)(22741xxxxxxxf问这个高尔夫球座的体积是多少？答案：)(4801913cm5、转售机器的最佳时间由于折旧等原因，某机器转售价格)(tR是时间t(周)的减函数9643)(teAtR，其中A是机器的最初价格。在任何时间t，机器开动就能产生484teAP的利润。问机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？这利润是多少？机器卖了多少钱？提示：假设机器使用了x周后出售，此时的售价是9643)(xeAxR，在这段时间内机器创造的利润是xtdteA0484。于是，问题就成了求总收入9643)(xeAxf+xtdteA0484，),0(x的最大值。答案：总利润P=11.01A,机器卖了1283A元。6、人口统计模型人口统计模型（1）：某城市1990年的人口密度近似为204)(2rrP，)(rP表示距市中心r公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人。试求距市中心2km区域内的人口数。人口统计模型（2）：若人口密度近似为rerP2.02.1)(单位不变，试求距市中心2km区域内的人口数。答案：（1）(十万),（2）(十万)7、心脏输出量的测定小王想成为一名长距离游泳的运动员，为此，需要测定他的心脏每分钟输出的血量。使用的方法为“染色稀释法”：程序是先向离心脏最近的静脉注入一定量的染色，于是染色将随血液进入右心房、肺内血管、左心房、动脉，然后在动脉中定期取血样，并测量血样中染色的浓度，由于的血液的稀释，染色的浓度随时间t变化，从而可测得一个关于t的函数C(t)(mg/L).设注射的染色的量为D，试求小王的心脏输出量R(L/min).提示：理解“染色稀释法”的原理，必须知道在小时间区间[t,t+dt]内通过取样点的染色量等于浓度C(t)*R*dt。因为所有染色量最终要经过取样点，则染色总量应等于各小的时间区间内通过取样点的染色量的和，由积分的定义知：00)(TdttRCD00)(TdttCR其中T0是全部染色通过取样点的时间，则心脏输出量为：00)(/TdttCDR8、呼出或吸入空气的速率当你呼吸时，你呼出或吸入的气流的速率V(t)(升/秒)可用一个正弦曲线来描述：)2sin()(tTAtV,其中时间t(单位为秒)从某次吸气开始计算起，A是最大的气流速率，T为一次呼吸所需得的时间。当正弦曲线的函数值为正值是，你正在吸气：反之，你正在呼气。在你呼气的某时间段[t1，,t2]上，曲线y=V(t)与t=t1,t=t2及t轴所围成的面积就是你在这个时间段吸入空气的总量。提示：每次吸气所有时间为2T,由V(t)的周期性，只需考虑[0,2T]时间段上吸入的空气总量即可。每次吸气时吸入的总量为AT升答案：每小时吸入空气的总量＝每次吸气时吸入的空气总量与1小时内的呼吸次数之积9、估计某医院在某时间内的就医人数一家新的乡村精神医病诊所刚开张。对同类门诊的统计表明，总有一部分人第一次来过之后还要来此治疗。如果现在有A个病人第一次来此就诊，则t个月后，这些病人中)(tAf个病人还在此治疗，这里20)(tetf，现设这个诊所最开始时接受了300个人的治疗，并且计划从现在开始每月接受10名新病人。试估算从现在开始15个月后，在此诊所接受治疗的病人有多少？提示：为了计算从现在开始的15个月后内接受的病人在15个月后还在此治疗的人数，将15个月的区间]15,0[t,分为n个等距为t的小区间，令jt表示第j个区间的左端点（nj15）。既然每月要接受10名新病人，于是在第j个小区间内接受的新病人人数为t10，于是)15(10jtt病人将从jt开始，jt15个月后还要来此治疗。所以从现在开始15个月后新接受的病人还要在此治疗的人数总和为：njjttf1)15(10答案：P＝24702410、尿素的清除率答案：肾的一个重要功能是清除血液中的尿素。临床上在尿量少时，为减少尿量变动对所测尿素清除率的影响，通常采用尿素标准清除率计算法，即PVUC其中U表示尿中的尿素浓度，V表示美分析出的尿量，P表示血液中的尿素浓度，正常人尿素标准清除率为54。某病人的实验室测量值为U=500,V=1.44,P=20,则C=30。若某一测量值的误差最大不超过1%，估计C的最大绝对值误差和相对误差。提示：利用全微分方程答案:C的最大绝对值误差为0.75，最大相对误差为2.5%。第八章多元函数微分法及其应用1、最大利润问题某公司在生产使用a,b两种原料，已知a,b两种原料分别使用x单位和y单位可生产U单位的产品，这里并且第一种原料每单位的价格为10美元，第二种的价格为4美元，产品每单元的售价为40美元，求该公司的最大利润。提示：多项式的极值，求驻点。答案：28189美元。2、如何购物最满意日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题。由于钱数固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买（甚至不在购买）另一种物品，这样就不可能很令人满意。如何划分给定量的钱，才会得到最满意的效果呢？经济学家试图借助效用函数来解决这一问题。所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各x单位y单位时满意程度的量。常见的形式有：U＝U(x,y)=x+y或U＝U(x,y)=lnx+lny等。而当效用函数达到最大值时，人们购买分配的方案最佳。例如：小孙由200元钱，他决点该购买二种急需品：计算机磁盘和录音磁带。且设他购买x张磁盘y张录音磁盘的效用函数为U＝U(x,y)=lnx+lny，设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配他的200元钱，才能达到最满意的效果。提示：拉格朗日乘数法。答案：买12张磁盘和10盒磁带。3、怎样设计海报的版面既美观又经济现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积128平方分米，上下空白各2分米,两边空白各1分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积最少?提示：函数极值答案：（海报印刷部分为从上到下长16分米，从左到右宽8分米）。4、接受能力与讲授时间的关系通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散。分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：436.21.0)(2xxxG其中G(x)是接受能力的一种度量,x是提出概念的时间（单位：min）。（a）x为何值时，学生接受能力增强或降低？（b）第10分钟时，学生的兴趣是增长还是降低？（c）最难的概念应该在何时讲授？（d）一个概念需要55的接