高等数学竞赛辅导

1高等数学竞赛辅导一、极限与连续1：“00”型函数的极限[1]分子或分母先因式分解，然后约分求值（分子和分母均为有理式）例1求121lim221xxxx[2]有理化分子或分母，然后约分求值公式：bababa))((babbaaba))((32333233例2求极限(1)2321lim4xxx(2)328287limxxxx[3]利用等价无穷小替换求极限：limlim常见的等价无穷小：变量在变化的过程中，下列各式左边均为无穷小，则①sin□～□②tan□～□③arcsin□～□④arctan□～□⑤ln(1+□)～□⑥口e-1～□⑦1-cos□～22口⑧(1+□)-1～α□等价无穷小替换的原则：①只对函数的因式可作等价无穷小替换②该因子首先必须是无穷小量例3求极限(1)2220sincos1limxxxx（2）])1[(lim112nnnanan(3)131)1()1()1)(1(limnnxxxxx（4）10(1)limxxxex(5)19921limnnnn，求、的值。2提示：(2)方括号内提取1na;(4)1ln(1)111ln(1)00001(1)1limlimlimlimln(1)1xxxxxxxxxeexeeeexxxxxx;(5)由于1limlimlim199211[11]nnnnnnnnnnn，所以由1，且19921，知119921。2：“”型（分子和分母同时除以变量x的次数最高项）[1]分子和分母均为有理式例4求极限(1)121lim22xxxx(2)5)15()75)(43)(3)(2)(1(limxxxxxxx[2]分子和分母均为根式例5求极限1limxxxxx.3：“”型[1]通分后，利用因式分解约分等方式求值例6求极限)1311(lim31xxx[2]有理化分子，利用“”型的方法求值例7求极限)))(((limxbxaxx4：“1”型（公式exexxoxxx1)1(lim,)11(lim的利用）分析：①判断是否是“1”型③则xxgxxflim)]([lim)([（1+□）1]axxeex)(lim)(3例8求极限（1）xxxxe110)23(lim(2)nnnx)232(lim(3)8)2(limxxaxax,求a（4）设101123nnnnndxxxa，求nnnalim（5）设},,max{21maaaa，且0ka),2,1(mk，求nnmnnxaaa21lim5：无穷小量和有界函数的乘积为无穷小量例9求极限xxx1arctanlim06：用罗必达法则求极限注意:①零因式最好先用等价无穷小替换②非零因式的极限可以先求出来[1]“00”型和“”型（)()(lim)()(lim//xgxfxgxfxx）例10求极限(1)xexxx10)1(lim（2）11cos1sin1cos1sinlnlimxxxxx（3）])11(ln11[lnlim222xxxxxxx（4）xtxtxdtedte022022)(lim（5）xdttxxx100220sincoslim2（6）30tan00)sin(lim2xdydtttxyx（7）xdtttxxx200sin)()(lim（8）)(xf在6x的邻域内可导，且0)(lim6xfx，1995)(lim/6xfx，求3666)6())((limxdtduuftxtx4（9）若2)1ln(sin11arctan1lim020xxdttbtxax，试确定常数ba,的值（10）设)(xf在),0[连续，1)(limxxfx，0,0c为常数，求)()(lim0xfdttfeexctcxx[2]“0”型)()(limxgxfx=axgxfxgxfaxfxgxfxgxxxx////])(1[)]([lim)(1)(lim])(1[)]([lim)(1)(lim其中f(x)→0,g(x)→∞注：①如f(x)或g(x)是ln[φ(x)]的形式，则该函数一般在分子②分母一般较分子简单例12求极限(1))111(limxxexx（2）xxxaax1)111(lim（0a讨论）[3]“1”型﹑“00”型﹑“0”型axgxfxgxfxfxgxxgxeeeexfxx//])(1[)]([lnlim)(1)(lnlim)(ln)()(lim)]([lim例13求极限(1)xkxxln10lim(2)xxxex1)(lim（3）nnnnnnnln)lnln(lim(4)2)1tan(limnnnn（5）dxxeaxaxaxxx2)(lim，求a5例3．求极限xxnxxxnaaa1210)(lim（1型）解令xxnxxnaaay121)(，则)ln(1ln21naaaxyxnxx)ln(1limlnlim2100naaaxyxnxxxx)]1(1ln[1lim210naaaxxnxxx)1(1lim210naaaxxnxxx)(1lim210nnaaaxxnxxx]111[1lim210naaaxxnxxx]111[lim1210xaxaxanxnxxx因为xaxx1lim10xaxx1lim10xeaxx1lim1ln0110lnlnlimaxaxxyxlnlim0]1lim1lim1lim[102010xaxaxanxnxxxxxnaaanlnlnln121naaan21lnnnaaa21lnxxnxxxnaaa1210)(limyx0limnnaaayyxaaaeeennx21lnlnlimln0210lim[4]“”型分析：一般采用通分的方式转化为“00”型和“”型，然后利用罗必达法则及等价无穷小替换求极限例14求极限6(1))cossin1(lim2220xxxx（2）)11(lim1nnen(令xn1)7:不能用罗必达法则求解的“00”型和“”型分析：一般采用等价无穷小替换和无穷小量和有界函数的乘积为无穷小量例13求极限xxxxsin1sinlim208:利用麦克劳林公式求函数的极限注意:下列公式中,0x(1))(!0nnkkxxokxe(2))()!12(sin2112nnkkxokxx(3))()!2()1(cos1202nnkknxokxx(4))()1()1ln(211nnkkkxokxx(5))(!)1()2)(1(!2)1(1)1(2nnaxoxnnaaaaxaaaxx例14求极限（1）)(lim656656xxxxx（2）)]11ln([lim2xxxx（3）])1ln(1)1ln(1[lim20xxxx（4）)cot1(1lim0xxxx9:利用定积分的定义求极限方法：如果badxxf)(存在，则bankndxxfknabafnab)()(lim1例15求极限（1）nknknn1224lim解：22tan|22tan411)(4111lim4lim1010212122acxacdxxnknknnnknnkn（2）nknnknx122lim7解：nknnknxdttxnkxnnknx110121)2()](2[1lim2lim（3）nnnnnnn)12()2)(1(1lim解：因为nnknnkennnnn10)1ln()12()2)(1(1由于1014ln12ln2)1ln()1ln(1limedxxnknnkn故eennnnnenn4)12()2)(1(1lim4ln10:利用级数收敛的必要条件求极限方法：如果级数1nna收敛，则0limnna例16求极限（1）)!12()!(lim2nnn解：令)!12()!(2nnan则141])!1[()!12()!12()!(limlim221nnnnaannnn故级数12)!12()!(nnn收敛，则0)!12()!(lim2nnn（2）nnnnn!2lim（同上）11:利用夹逼准则求极限例17（1）求极限)12111(lim222nnnnn8(2)nknknn121lim12:求nknknf1),(lim如果0),(limknfn，0),(limkngn，且1),(),(limkngknfn，则nknnknkngknf11),(lim),(lim例18求极限nknnk132)11(lim解：当n时，23231~11nknk则61311lim31)11(lim101132xdxnknnknknnkn13:已知数列的递推式，证明数列极限存在，并求极限方法：利用“单调有界函数必有极限”处理（1）由)(1nnxfx先判断数列}{nx单调，即判断1nnxx的正、负或判断1nnxx比1大还是小（2）假设}{nx的极限存在，并估算极限a，计算axn判断数列}{nx有界（3）求数列}{nx的极限a例19（1）求极限61x，662x，6663x，…….16nnxx解：因为21212116666nnnnnnnnxxxxxxxx由于1nnxx和21nnxx同号，依次类推可知1nnxx和12xx同号，故01nnxx，即1nnxx，数列单调增加9又因为363363111nnnnxxxx依次类推知3nx和31x同号，即3nx且0nx，故数列}{nx单调有界必有极限设axnnlim，则由16nnxx知aa6得3a，即3limnnx注意：这里为什么用nx和3比较大小判断数列有界呢？因为我们首先假设数列有极限时，算出它的极限为3，然后用nx和3比较。（2）设)23(41,0311nnnxxxx，（3,2,1n），求nnxlim分析：可用均值定理确定上、下界解：因为443122)2(41nnnnnnnnnxxxxxxxxx所以数列有下界，又因为1)23(4141nnnxxx故数列单调减少，有极限为42(3)设)11(211,,1,21111111nnnnnnyxyyxxyx,证明数列}{nx、}{ny收敛，并且有相同的极限解：因为01nx，01ny，所以nnnnnnxxyxy11)11(2111111即nnyx又因为0)(1111111111nnnnnnnnnnnxyxxyxxyxxx即数列}{nx有上界211x因为11112nnnnnyxyxy10而0)(2111111111