4.2第二类换元积分法

一.第一类换元积分法(凑微分法)二.第二类换元积分法4.2换元积分法1.积分形式的不变性：复习引入CuFduuf)()(则cxFdxxf)()(若的函数为xu2.积分形式不变性下的基本积分公式：ckukducuduu111cudxuln1caadxauuln1cedxeuucuudusincoscuuducossincuudutansec2cuuducotcsc2cuuduusectanseccuuduucsccotcsccuduuarcsin112cudxuarctan112cudu教学内容:第二类换元积分法dxxa22,12xdx如何求形如?的不定积分?主要用于求被积函数含有根号的不定积分，去掉根号是换元的主要思路。dxx121.1求例解决策略设置中间变量,去掉根号解：，12tx,2tdtdxdttt22dxx121，则令tx1dttt2222dtt)221(2ctt2ln22回代cxx21ln212一.简单的根式代换例2求3xxdxtx6,6txdttdx56解令，则dtttt)111(62ctttt1ln663223cxxxx1ln66326633xxdxdtttt2356dttt163dttt11163解令例3求.11dxexxet1,12tex,122dtttdxdxex11dtt122dttt1111Ctt11ln.11ln2Cxex,1ln2txdtttt)1(22121xdxtx12212txtdtdxdtttxdx1121ctt)1ln(例4求解令，则dttt1dttt11)1(dtt)111(cxx12112lndtta22cos12解：令)22(t,costdtadx则dxxa22tdta22cosCtta)2sin21(22Cxaxaxa2222arcsin2例5计算dxxa22)0(atax22xa*taxsintaxsin作直角三角形axtarcsintttcossin22sinax22222axaxaxa22二.三角代换例5所使用的换元函数为三角函数,称之为为三角代换,其目的是化简根式代换的一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa可令,sintax变量还原时通常可采用如下方法:tx22xaa;2,2t22)2(xa可令,tantaxtax22ax;2,2t22)3(ax可令2,0,secttaxtax22ax22)1(xa可令taxsin22)2(xa可令taxtan22)3(ax可令taxsec例6dxxax22计算解：令taxsecdxxax22tatasectan)0(atdta2tandtta)1(sec2CattatanCxaaaxarccos22tax22ax*)20(ttdttatansecdxxx10)1(..7求例1xu1uxduuu10)1(duuu)(1011;coslntanCxxdx;sinlncotCxxdx;tanseclnsecCxxxdx;cotcsclncscCxxxdx基本积分表(续);arctan1122Caxadxxa;ln21122Cxaxaadxxa;arcsin122Caxdxxa.)ln(12222Caxxdxaxcxaxaxadxxa222222arcsin2两类积分换元法：（二）第二换元积分法（根式代换、三角代换）一般是结合基本积分公式，对复合函数导数进行逆向思考。（一）第一换元积分法(凑微分)通常用于解决被积函数含有根式的情形.经济数学4.2换元积分法作业1.习题4教材P982单号题；3双号题2.补充题Cxxdxxfsin)(已知,求.)1(dxefexxdxxx4212dxx2)1(31dxx23111313131113312xdxcx31arctan31cuduuarctan112思考题