高三数学函数综合题训练(含详解)

高三函数综合题1.已知函数f（x）=2x+2-xa（常数a∈R）．（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]2成立，求实数a的取值范围．2.已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．（1）若a=-1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．3.已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值与最小值；（2）若x≥a，试求f（x）+3＞0的解集；（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．4.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；（2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．答案详解1.已知函数f（x）=2x+2-xa（常数a∈R）．（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]2成立，求实数a的取值范围．解：（1）由a=-1，f（x）=4，可得2x-2-x=4，设2x=t，则有t-t-1=4，即t2-4t-1=0，解得t=2±5，当t=2+5时，有2x=2+5，可得x=log2(2+5)．当t=2-5时，有2x=2-5，此方程无解．故所求x的值为log2(2+5)．（2）设x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，则f(x1)-f(x2)=(2x1+2-x1a)-(2x2+2-x2a)=(2x1-2x2)+2112222xxxxa=2121222xxxx(2x1+x2-a)由x1＞x2，可得2x1＞2x2，即2x1-2x2＞0，由x1，x2∈[1，+∞），x1＞x2，得x1+x2＞2，故2x1+x2＞4＞0，又a≤4，故2x1+x2＞a，即2x1+x2-a＞0，所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．（3）因为函数f（x）=2x+2-xa，存在x∈[0，1]，f（2x）＞[f（x）]2⇔22x+2-2xa＞22x+2a+2-2xa2⇔2-2x（a2-a）+2a＜0设t=2-2x，由x∈[0，1]，可得t∈[41，1]，由存在x∈[0，1]使得f（2x）＞[f（x）]2，可得存在t∈[41，1]，使得（a2-a）t+2a＜0，令g（t）=（a2-a）t+2a＜0，故有g(41)=41(a2-a)+2a＜0或g（1）=（a2-a）+2a＜0，可得-7＜a＜0．即所求a的取值范围是（-7，0）．2.已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．（1）若a=-1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．解析：（1）当a=-1时，f（x）=x2+（x-1）|x+1|，故有，f(x)=111122xxx，当x≥-1时，由f（x）=1，有2x2-1=1，解得x=1，或x=-1．当x＜-1时，f（x）=1恒成立，∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}．（2）f(x)=axaxaaxaxax)1()1(22若f（x）在R上单调递增，则0141aaa，解得a≥31，∴当a≥31时，f（x）在R上单调递增．（3）设g（x）=f（x）-（2x-3），则g(x)=axaxaaxaxa,3)1(,3)3(2x2，不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，等价于不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立．∵a＜1，∴当x∈（-∞，a）时，g（x）单调递减，其值域为（a2-2a+3，+∞），∵a2-2a+3=（a-1）2+2≥2，∴g（x）≥0成立．当x∈[a，+∞）时，由a＜1，知a＜43a，g（x）在x=43a处取得最小值，令g(43a)=a+3-8)3(2a≥0，解得-3≤a≤5，又a＜1，∴-3≤a＜1．综上，a∈[-3，1）．3.已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值与最小值；（2）若x≥a，试求f（x）+3＞0的解集；（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．解析：（1）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3，①2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）2+6，当x=2时，f（x）min=5；当x=3时，f（x）max=6②当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）2-4，当x=4时，f（x）min=5；当x=5时，f（x）max=12综上所述，当x=2或4时，f（x）min=5；当x=5时，f（x）max=12（2）若x≥a，f（x）+3=x[x-（a-2）]，当a＞2时，x＞a-2，或x＜0，因为a＞a-2，所以x≥a；当a=2时，得x≠0，所以x≥a；当a＜2时，x＞0，或x＜a-2，①若0＜a＜2，则x≥a；②若a≤0，则x＞0综上可知：当a＞0时，所求不等式的解集为[a，+∞）；（10分）当a≤0时，所求不等式的解集为（0，+∞）（12分）（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2，即x•|x-a|≤1⇔-x1≤x-a≤x1⇔x-x1≤a≤x+x1因为x-x1在x∈[1，2]上增，最大值是2-21=23，x+x1在x∈[1，2]上增，最小值是2，故只需23≤a≤2．故实数a的取值范围是23≤a≤2．4.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；（2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．解：（1）∵函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，即h（x）=|f（x）|-g（x）=|x2-1|-a|x-1|只有一个零点，显然x=1是函数的零点，∴即|x+1|-a=0无实数根，∴a＜0；（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x2-1|+a|x-1|=121111211222xaaxxxaaxxxaaxx，当1＜x≤2时，∵a≥-3，∴-2a≤23，当x=2时，h（x）的最大值为h（2）=a+3；当-2≤x＜-1时，2a≥-23，当x=-2时，h（x）的最大值为h（-2）=3a+3；当-1≤x≤1时，h（x）的最大值为max{h（-1），h（1），h（-2a）}=max{2a，0，41a2+a+1}=41a2+a+1，∴函数h（x）最大值为h（a）=6241416240330332aaaxaaa.