中考数学直角三角形

第18讲直角三角形第18讲┃直角三角形考点1直角三角形┃考点自主梳理与热身反馈┃1．在Rt△ABC中，若∠A为直角，则∠B＋∠C＝________．2．在△ABC中，若∠A与∠B互余，则△ABC是________三角形．90°直角第18讲┃直角三角形【归纳总结】1．直角三角形的两个锐角________．2．有一个角是________的三角形是直角三角形．3．有两个角________的三角形是直角三角形．互余直角互余第18讲┃直角三角形考点2直角三角形斜边上的中线的性质1．如图18－1，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD＝4，则AB＝________．图18－1图18－22．如图18－2，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CE⊥AB于点E，若CE＝5cm，CD＝6cm，则△ABC的面积为________cm2.830第18讲┃直角三角形【归纳总结】直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．它常与矩形的对角线相联系，用来说明两条线段之间的数量关系．一半第18讲┃直角三角形考点3含30°角的直角三角形的性质1．已知某山的高度是100米，如果小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，那么他共走了________米．2．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AD＝6，则CD＝________.2003第18讲┃直角三角形【归纳总结】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________．它实际上反映了30°角的正弦值．反之，在直角三角形中也可以由直角边与斜边的一半关系得到该直角边所对的锐角度数为30°.一半第18讲┃直角三角形考点4勾股定理及其逆定理1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c的长为()A．6B．9C．15D.632．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的一组是()A．3，4，5B．6，8，10C.3，2，5D．5，12，13CC第18讲┃直角三角形【归纳总结】1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝________.2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是________三角形．3．勾股数：能构成直角三角形三条边长的三个________．c2直角正整数第18讲┃直角三角形【知识树】第18讲┃直角三角形┃考向互动探究与方法归纳┃探究一直角三角形的性质在计算中的应用例1如图18－3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E为垂足，连接CD，若BD＝1，求AC的长．图18－3第18讲┃直角三角形[解析]利用直角三角形两锐角互余，确定∠ACB的度数，再利用线段垂直平分线的性质，得到AD＝CD，所以∠A＝∠ACD＝30°，再求得∠BCD＝30°，进而解Rt△BCD，求得BC的长，再在Rt△ABC中，利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC的长．第18讲┃直角三角形解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝30°.∵∠ACB＝60°，∴∠BCD＝30°.在Rt△BCD中，BD＝1，∠DCB＝30°，∴DC＝2，由勾股定理得BC＝3.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝3，∴AC＝2BC＝23.第18讲┃直角三角形[中考点金]当题目中存在直角三角形时，注意根据题干给出的诸如30°角、斜边上的中点等信息选择合适的定理来计算．第18讲┃直角三角形变式题如图18－4，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的最大边的长为()图18－4A．3cmB．6cmC．32cmD．62cmD第18讲┃直角三角形探究二勾股定理及其逆定理的应用例2如图18－5，一架长5米的梯子AB斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？请你用所学知识，论证你的结论．图18－5第18讲┃直角三角形[解析]在Rt△ACB和Rt△DCE中利用勾股定理来求如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线滑动的距离．解：在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，由勾股定理，得AC＝AB2－BC2＝4(米)，∴DC＝4－1＝3(米)．在Rt△DCE中，DC＝3，DE＝5，∴CE＝DE2－DC2＝4(米)，∴BE＝CE－CB＝1(米)．即梯子底端也滑动了1米．第18讲┃直角三角形[中考点金]勾股定理指出了直角三角形中三边的数量关系，据此可由已知的直角三角形两边的长度求出第三边的长度．其逆定理是由三角形的三边之间的数量关系证明一个三角形是直角三角形，它是判定直角三角形的一种重要方法．第18讲┃直角三角形变式题某住宅小区有一块草坪如图18－6所示，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，求这块草坪的面积．图18－6第18讲┃直角三角形解：连接AC，由勾股定理得AC＝5米．因为AC2＋DC2＝AD2，所以∠ACD＝90°.这块草坪的面积＝SRt△ABC＋SRt△ACD＝12AB·BC＋12AC·DC＝12×(3×4＋5×12)＝36(平方米)．第18讲┃直角三角形┃考题自主训练与名师预测┃1．[2014·海南]在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是()A．120°B．90°C．60°D．30°D第18讲┃直角三角形2．如图18－7是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是()图18－7A．黄金分割B．垂径定理C．勾股定理D．正弦定理C第18讲┃直角三角形3．[2014·滨州]下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．1，2，34．[2014·淮安]如图18－8，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为()图18－8A．5B．6C．7D．25BA第18讲┃直角三角形5．如图18－9，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是()图18－9A．3.5B．4.2C．5.8D．7D第18讲┃直角三角形6．[2013·资阳]如图18－10，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，若AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是()图18－10A．48B．60C．76D．80C[解析]阴影部分的面积＝正方形的面积－直角三角形的面积．正方形的边长是该直角三角形的斜边长，根据勾股定理可求，进而求解．第18讲┃直角三角形7．[2014·荆门]如图18－11，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为()图18－11A．42dmB．22dmC．25dmD．45dmA第18讲┃直角三角形8．[2014·昆明]如图18－12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，点D为AB的中点，则CD＝________cm.图18－12图18－139．将一副直角三角板按如图18－13所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．575°第18讲┃直角三角形10．[2014·凉山州]已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为________．11．[2014·江西]在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为______________．5或723或43或6第18讲┃直角三角形12．如图18－14所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝258π，S2＝2π，则S3＝________．图18－1498π第18讲┃直角三角形13．如图18－15，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5cm，则AE＝________cm.图18－153第18讲┃直角三角形[解析]∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＋∠BCD＝90°.∵CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°，∴∠ECF＝∠B.在△ABC和△FEC中，∠B＝∠ECF，BC＝EC，∠ACB＝∠FEC＝90°，∴△ABC≌△FCE(ASA)，∴AC＝EF.∵AE＝AC－CE，BC＝2cm，EF＝5cm，∴AE＝5－2＝3(cm)．第18讲┃直角三角形14．如图18－16，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，若DA＝15km，CB＝10km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．求中转站E应建在距A多远处？图18－16第18讲┃直角三角形解：设AE＝x，则BE＝25－x.∵DA⊥AB于点A，∴∠DAE＝90°.在Rt△ADE中，由勾股定理得AD2＋AE2＝DE2.∵CB⊥AB于点B，∴∠CBE＝90°.在Rt△ECB中，EB2＋BC2＝CE2.∵DE＝CE，∴DE2＝CE2，∴AD2＋AE2＝EB2＋BC2，∴152＋x2＝(25－x)2＋102，解得x＝10.答：中转站E应建在距A10km处．第18讲┃直角三角形15．如图18－17，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝9，AC＝12，AD⊥BC，垂足为D.(1)求BC的长；(2)求BD的长．图18－17第18讲┃直角三角形[解析](1)因为在△ABC中，∠BAC＝90°，所以得到△ABC为直角三角形，且AB，AC为两直角边，因此根据勾股定理可求出BC的长．(2)已知AD⊥BC，垂足为D，可以利用面积法求出AD，在Rt△DBA中，利用勾股定理可求得BD.第18讲┃直角三角形解：(1)在△ABC中，∵∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2＋AC2＝92＋122＝81＋144＝225，∴BC＝15.(2)∵AD⊥BC，垂足为D，∴S△ABC＝12AC×AB＝12AD×BC，即12×12×9＝12×15×AD，∴AD＝365.在Rt△DBA中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝92－3652＝275.第18讲┃直角三角形16．[2014·锦州]如图18－18，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM.(1)求证：EF＝12AC；(2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．图18－18第18讲┃直角三角形解：(1)证明：∵CD＝CB，点E为BD的中点，∴CE⊥BD.∵点F为AC的中点，∴EF＝12AC.(2)∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形．∵点F为AC的中点，∴EF垂直平分AC，∴AM＝CM.∵CD＝CM＋DM＝AM＋DM，CD＝CB，∴BC＝AM＋DM.第18讲┃直角三角形1．如图18－19所示的两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行________米．图18－1910第18讲┃直角三角形2．如图18－20，有一直角三角形纸片ABC，BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为________．图18－2018