离散型随机变量的均值与方差基础练习题

离散型随机变量的均值与方差基础练习题一、填空题1．若随机变量X的分布列如下表：则EX＝_______.X012345P2x3x7x2x3xx解析由分布列的性质，可得2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，∴x＝118.∴EX＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5x＝40x＝209.答案2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于________．[来源:学。科。网]解析ξ＝0时，P=:ξ＝1时，P＝C17C13C210；ξ＝2时，P＝C23C210，∴Eξ＝1×C17C13C210＋2×C23C210＝7×3＋2×3C210＝35.答案353．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是________．解析若两个随机变量Y，X满足一次关系式Y＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)、D(X)时，则有E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案2；2.44．已知X的概率分布为X－101P121316则在下列式子中：①E(X)＝－13；②D(X)＝2327；③P(X＝0)＝13.正确的序号是________．解析E(X)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．答案①③5．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1Dξ2，则自动包装机的质量较好．6．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________．答案1257．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)＝________．答案：238．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．解析种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为Y，则Y～B(1000,0.1)，∴E(Y)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为E(X)＝2·E(Y)＝200.答案2009．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为________．解析由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝1C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝310，P(X＝6)＝C25C36＝12.由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.答案5.25二、解答题10．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，求随机变量X的分布列与均值.解:由已知条件P(X＝0)＝112即(1－p)2×13＝112，解得p＝12，随机变量X的取值分别为0,1,2,3.P(X＝0)＝112，P(X＝1)＝23×1－122＋2×13×122＝13，P(X＝2)＝2×23×12×1－12＋1－23×122＝512，P(X＝3)＝23×122＝16.因此随机变量X的分布列为X0123P1121351216E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.11．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量ξ的概率分布表；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．解(1)ξ234P35310110(2)随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝52；12.随机变量ξ的方差D(ξ)＝920.在某一项有奖销售中，每10万张奖券中有1个头奖，奖金10000元；2个二等奖，奖金各5000元；500个三等奖，奖金各100元，10000个四等奖，奖金各5元．试求每张奖券奖金的期望值．如果每张奖券2元，销售一张平均获利多少？（假设所有奖券全部售完）解：每张奖券可获得的奖金数ξ的分布列为ξ10000500010050P1100000210000050010000089497100000每张奖券的期望值Eξ=10000×1100000+5000×2100000+100×500100000+5×10000100000=1.2元.如果每张奖券2元，销售一张平均获利0.8元．10000100000