有理数四则运算方法

有理数四则运算1、有理数的加法（1）符号相同的两数相加，和的符号与两个加数的符号一致，和的绝对值等于两个加数绝对值之和；+14+12=+|14+12|=+26-15-14=-|15+14|=-29（2）符号相反的两数相加：当两个加数绝对值不等时，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，和的绝对值等于加数中较大的绝对值减去较小的绝对值；35+（-25）=+|35-25|=+1032+（-60）=-|60-32|=-28（3）互为相反的两个数相加得0；-26+（+26）=0（4）一个数同0相加，仍得这个数。-26+0=-2635+0=35注意：一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值。2、有理数的减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。例如：(-25)-(-17)=-25+17=-|25-17|=-814-（+35）=14+（-35）=-|35-14|=-21(-25)+(-17)可以写成省略括号的形式：14+12-25-17，可以读作“正14加12减25减17”，也可以读作“正14、正12、负25、负17的和。”在把有理数加减混合运算统一为最简的形式，负数前面的加号可以省略不写。3、有理数的乘法（1）两数相乘，同号得正，异号得负。任何数同0相乘，都得0；（＋２）×（＋３）＝＋６（－２）×（－３）＝＋６（同号相乘得正）（－２）×（＋３）＝－６（＋２）×（－３）＝－６（异号相乘得负）0×3=0；0×(－3)=0；2×0=0；(－2)×0=0．（任何数乘0都得0）（2）互为倒数的两个数乘积是1，符号相反的两个互为倒数的乘积是-1；65×56=1（-65）×（-56）=165×（-56）=-1（-65）×56=-1（3）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；（＋２）×（-３）×（-5）＝＋30（负因数的个数是偶数积为正）（＋２）×（＋３）×（-5）＝-30（负因数的个数是奇数积为负）（4）两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab＝ba（－２）×（＋３）＝（＋３）×（－２）（5）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。（ab）c＝a（bc）（－２5）×（＋３）×（－4）＝（－２5）×（－4）×（＋３）（6）一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。a（b＋c）＝ab＋ac（－２5）×（4＋8）＝（－２5）×4＋（－２5）×（＋8）4、有理数的除法（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。72÷9=8（-72）÷（-9）=8（同号相除得正）（2）0除以任何一个不等于0的数，都得0。0÷9=00÷（-9）=0（3）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。15÷65=15×56=1815÷（-65）=15×(-56)=-18（4）因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。例：-35÷87×(-43)原式=-35×78×(-43)（变除为乘）=-40×(-43)（约分）=305、有理数的乘方基本概念：n个相同的因数a相乘，即aaaa......，我们把它记作an，表示n个a相乘。这种求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂。幂的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；例：23=832=9（2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；例：（-2）3=-8（-2）2=4（3）0的任何正整数次幂都是0；例：02=0（4）任何不等于0数的0次幂都是1；例：20=1（-2）0=1（5）任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数．例：（3）-2=231注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数均不为0．6、正整数指数幂公式a0=1(a≠0)a1=a(a≠0)am+an=am+n(m和n是正整数)（am)n=amn(m和n是正整数)（ab)n=anbn(n是正整数)am÷an=am÷n(a≠0,m和n是正整数,mn)（ba)n=nnba(公式乘方公式，n是正整数)a-n=n1a(a≠0,n是正整数)7、有理数的开方求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。（1）平方根如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根。a是被开方数。也即，x2=a(a≥0)时，我们称x是a的平方根，记做：x=a(0a。)平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；B零有一个平方根，它是零本身；C负数没有平方根。开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3。可见平方运算与开平方运算互为逆运算。根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根。平方根的表示方法一个正数a的正的平方根，用符号“2a”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数。正数a的负的平方根用符号“﹣2a”表示，a的平方根合起来记作“2a”，其中“2”读作“二次根号”，“2a”读作“二次根号下a”。当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“a”，读作“正、负根号a”。因此：①当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；②当a0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数。通常记做：ax。③当a0时，也即a为负数时，它不存在平方根。（2）算术平方根①如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，读作，“根号a”。其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。②算术平方根的性质：具有双重非负性，即：0a(0a)。③算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a。（3）立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数。立方根的性质：A：正数有一个正立方根；例：38=2327=3364=4……B：负数有一个负立方根例：38=-2327=-3364=-4……C：零的立方根是零立方根的表示：数a的立方根我们用符号3a来表示，读作三次根号a，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略。开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方运算与立方运算是互逆运算。如：32=27则327=3（-3）2=-27则327=-3重点：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。8、有理数混合运算的运算顺序（1）从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键例1：计算：3＋50÷22×(231)－1原式=3＋50÷4×91－1（先乘方运算）=3＋50×41×91－1（变除为乘）=3＋1187－1（再算乘法）=3187（最后算加减）（2）从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.例2：计算：-5－[-4+(1-0.2×51)÷(-2)]原式=-5－[-4+(1-251)÷(-2)]（先算小括号中的乘法）=-5－[-4+2524÷(-2)]（再算小括号中的减法）=-5－[-4+（-2512）]（再算中括号中的除法）=-5－[-42512]（再算中括号中的加法）=-2513（3）从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行；例3：计算：(－32)×(－1115)－32×(－1315)＋32×(－1415)原式=1011－（-1013）＋(－1014)（先算三个乘式）=1011＋1013－1014（再去掉数前面的符号）=1024－1014（从左到右计算）=1